A*算法小入门--八数码

Posted 2021-10-11 C_YCBX Py_YYDS

文章目录

• • A*算法初步详解
  • • h(x)的一般形态
    • 利用f(x)完成A*算法
    • 例题
    • 解题代码

A*算法初步详解

详细请看百度百科
最核心的估价函数：f(x) = g(x) + h(x)

• g(x) 为从起点开始的距离函数，比如从起点开始走了多少步。
• h(x) 为当前位置到达终点的启发式搜索函数。根据题意进行变动。

h(x)的一般形态

一、求最短路问题时：

1. 曼哈顿距离(只允许四个方向时)：
   

计算曼哈顿距离的函数如下，这里的D是指两个相邻节点之间的移动代价，通常是一个固定的常数。

function heuristic(node) =
    dx = abs(node.x - goal.x)
    dy = abs(node.y - goal.y)
    return D * (dx + dy)

2. 对角距离(允许八个方向时)
   

计算对角距离的函数如下，这里的D2指的是两个斜着相邻节点之间的移动代价。如果所有节点都正方形，则其值就是sqrt(D).

function heuristic(node) =
    dx = abs(node.x - goal.x)
    dy = abs(node.y - goal.y)
    return D * (dx + dy) + (D2 - 2 * D) * min(dx, dy)

3. 欧几里得距离(允许任何方向时)

就两点的直线距离：

二、求最短路变式问题时

实际上有很多题目并不是很严格的最短路问题，那么这种情况下视情况也可以用A* 算法，比如移动距离问题。

给定一图案要求移动到答案的最少操作次数，这时候 h(x) 可以用两幅图的不相同的程度来进行表示。

利用f(x)完成A*算法

A*算法必备的数据结构是一个最小堆，我们还需要自定义一个node结构体，里面重载最小堆的排序方式，排序方式一定按照估值函数 f 返回的大小进行。
当然和bfs类似，一般也需要进行去重。

话不多说，我们根据这些步骤用A*算法完成下面这道题目吧！

例题

OJ平台

解题代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <set>
using namespace std;
const int dx[4] = {1, -1, 0, 0}, dy[4] = {0, 0, 1, -1};
int fx, fy;
char ch;
struct matrix {//自定义matrix类型，重载<用于set判断
    int a[5][5];
    bool operator<(const matrix& x) const {
        for (int i = 1; i <= 3; i++)
            for (int j = 1; j <= 3; j++)
                if (a[i][j] != x.a[i][j]) return a[i][j] < x.a[i][j];
        return false;
    }
} f, st;
int h(matrix a) {//h(x)函数
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
        for (int j = 1; j <= 3; j++)
            if (a.a[i][j] != st.a[i][j]) ret++;
    return ret;
}
struct node { //node结构，记录走的步数，以及对应的图，重载<用估值函数进行最小堆的构建
    matrix a;
    int t;
    bool operator<(const node& x) const { return t + h(a) > x.t + h(x.a); }
} x;
priority_queue<node> q;  //搜索队列
set<matrix> s;           //防止搜索队列重复
int main() {
    st.a[1][1] = 1;  //定义标准表
    st.a[1][2] = 2;
    st.a[1][3] = 3;
    st.a[2][1] = 8;
    st.a[2][2] = 0;
    st.a[2][3] = 4;
    st.a[3][1] = 7;
    st.a[3][2] = 6;
    st.a[3][3] = 5;
    for (int i = 1; i <= 3; i++)  //输入
        for (int j = 1; j <= 3; j++) {
            scanf(" %c", &ch);
            f.a[i][j] = ch - '0';
        }
    q.push({f, 0});
    while (!q.empty()) {
        x = q.top();
        q.pop();
        if (!h(x.a)) {  //判断是否与标准矩阵一致
            printf("%d\\n", x.t);
            return 0;
        }
        for (int i = 1; i <= 3; i++)
            for (int j = 1; j <= 3; j++)
                if (!x.a.a[i][j]) fx = i, fy = j;  //找到0开始扩散
        for (int i = 0; i < 4; i++) {  //对四种移动方式分别进行搜索
            int xx = fx + dx[i], yy = fy + dy[i];
            if (1 <= xx && xx <= 3 && 1 <= yy && yy <= 3) {
                swap(x.a.a[fx][fy], x.a.a[xx][yy]);
                if (!s.count(x.a))
                    s.insert(x.a),
                            q.push({x.a, x.t + 1});  //这样移动后，将新的情况放入搜索队列中
                swap(x.a.a[fx][fy], x.a.a[xx][yy]);  //回溯，撤销操作
            }
        }
    }
    return 0;
}