2019 ICPC上海 F.A Simple Problem On A Tree（树链剖分）

Posted 2021-10-11 li_wen_zhuo

题目描述

题目链接

题目大意

有一棵含有n个节点的树，树上的每个节点都有一个权值w。有四种操作：
1、将u节点到v节点路径上的所有点的权值都改为w。
2、将u节点到v节点路径上的所有点的权值都加上w。
3、将u节点到v节点路径上的所有点的权值都乘上w。
4、求u节点到v节点路径上的所有点的权值的三次方和。

题目分析

这道题基本上就是由树链剖分和线段树维护区间加、乘操作两部分组合而成。除此之外，最大的难点就是如何用线段树维护区间的三次方和。
我们可以分开来看：
1、如何维护区间加数
$(a+x{)}^3+(b+x{)}^3+(c+x{)}^3=a^3+b^3+c^3+3x^3+3x(a^2+b^2+c^2)+3x^2(a+b+c)$

$从这个公式中我们可以看出，如果要维护三次方和加数，那么我们就需要同时维护这个序列的一次方和以及二次$
$方和（二次方和的加数维护大家可以根据三次方和的公式自己推导一下）$

2、如何维护区间乘数
$(ax{)}^3+(bx{)}^3+(cx{)}^3=(a^3+b^3+c^3)x^3$
$(ax{)}^2+(bx{)}^2+(cx{)}^2=(a^2+b^2+c^2)x^2$

$因此，维护乘法操作我们只需要给对应的次方和乘上乘数的对应次方即可$

代码如下

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define PDD pair<double,double>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e5+5,mod=1e9+7;
LL w[N],nw[N];
int h[N],e[N*2],ne[N*2],idx;
int id[N],cnt;
int dep[N],sz[N],top[N],fa[N],son[N];
struct Node{
	int l,r;
	LL sum1,sum2,sum3;		//sumx   表示序列的x次方和
	LL add,mul;				//加法懒标记和乘法懒标记
}tr[N*4];
void add(int a,int b)
{
	e[idx]=b;
	ne[idx]=h[a];
	h[a]=idx++;
}
void dfs1(int u,int father,int depth)
{
	dep[u]=depth,fa[u]=father,sz[u]=1;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
	{
		int v=e[i];
		if(v==father) continue;
		dfs1(v,u,depth+1);
		sz[u]+=sz[v];
		if(sz[son[u]]<sz[v]) son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t)
{
	id[u]=++cnt,nw[cnt]=w[u],top[u]=t;
	if(!son[u]) return;
	dfs2(son[u],t);
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
	{
		int v=e[i];
		if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;
		dfs2(v,v);
	}
}
void pushup(int u)
{
	tr[u].sum1=(tr[u<<1].sum1+tr[u<<1|1].sum1)%mod;
	tr[u].sum2=(tr[u<<1].sum2+tr[u<<1|1].sum2)%mod;
	tr[u].sum3=(tr[u<<1].sum3+tr[u<<1|1].sum3)%mod;
}
void push(Node& u,LL add,LL mul)		//懒标记下放函数
{	//直接根据公式来写即可（注意如果不及时取模有可能爆long long）
	if(mul!=1)
	{
		LL mul2=mul*mul%mod,mul3=mul2*mul%mod;
		u.sum3=u.sum3*mul3%mod;
		u.sum2=u.sum2*mul2%mod;
		u.sum1=u.sum1*mul%mod;
		
		u.mul=u.mul*mul%mod;
		u.add=u.add*mul%mod;
	}
	if(add!=0)
	{
		LL add2=add*add%mod,add3=add2*add%mod;
		u.sum3=(u.sum3+add3*(u.r-u.l+1)%mod+3*add2%mod*u.sum1%mod+3*add%mod*u.sum2%mod)%mod;
		u.sum2=(u.sum2+add2*(u.r-u.l+1)%mod+2*add%mod*u.sum1%mod)%mod;
		u.sum1=(u.sum1+add*(u.r-u.l+1)%mod)%mod;
		
		u.add=(u.add+add)%mod;
	}
}
void pushdown(int u)
{
	push(tr[u<<1],tr[u].add,tr[u].mul);			//懒标记下传
	push(tr[u<<1|1],tr[u].add,tr[u].mul);
	tr[u].add=0,tr[u].mul=1;
}
void build(int u,int l,int r)				//建树
{
	if(l==r)
	{
		LL w2=nw[l]*nw[l]%mod;
		LL w3=w2*nw[l]%mod;
		tr[u]={l,r,nw[l],w2,w3,0,1};
	}
	else {
		tr[u]={l,r,0,0,0,0,1};
		int mid=l+r>>1;
		build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
		pushup(u);
	}
}
void update(int u,int l,int r,int add,int mul)			//区间更新
{
	if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r) push(tr[u],add,mul);
	else {
		pushdown(u);
		int mid=tr以上是关于2019 ICPC上海 F.A Simple Problem On A Tree（树链剖分）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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