机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（12）：向量组的秩
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4.3 向量组的秩
定义5
设有向量组 A A A，如果在 A A A中能选出 r r r个向量 a 1 , a 2 , . . . , a r a_1,a_2,...,a_r a1,a2,...,ar，满足
- 向量组 A 0 : a 1 , a 2 , . . . , a r A_0:a_1,a_2,...,a_r A0:a1,a2,...,ar线性无关
- 向量组 A A A中任意一个 r + 1 r+1 r+1个向量(存在 r + 1 r+1 r+1个向量的情况下)都线性相关
称 A 0 A_0 A0是向量组 A A A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组，其中最大无关组所含向量个数 r r r称为向量组 A A A的秩，记作 R ( A ) R(A) R(A)
Note0：只含有零向量的向量组没有最大无关组，并规定其秩为0
Note1：向量组的最大无关组一般不是惟一的
定理6
矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
推论（最大无关组的等价定义）
设向量组 A 0 : a 1 , a 2 , . . , a r A_0:a_1,a_2,..,a_r A0:a1,a2,..,ar是向量组 A A A的一个部分组，且满足
- 向量组 A 0 A_0 A0线性无关
- 向量组 A A A的任一向量都能由向量组 A 0 A_0 A0线性表示
那么向量组 A 0 A_0 A0就是向量组 A A A的一个最大无关组
举例
例9
设奇次线性方程组 { x 1 + 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 = 0 2 x 1 + 3 x 2 − x 4 = 0 x 1 − x 2 − 5 x 3 + 7 x 4 = 0 \\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3-2x_4=0\\\\ 2x_1+3x_2-x_4=0\\\\ x_1-x_2-5x_3+7x_4=0 \\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+2x2+x3−2x4=02x1+3x2−x4=0x1−x2−5x3+7x4=0的全体解向量构成的向量组为 S S S，求 S S S的秩
解答
设系数矩阵为 A A A
A = [ 1 2 1 − 2 2 3 0 − 1 1 − 1 − 5 7 ] A=\\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -2\\\\ 2 & 3 & 0 & -1\\\\ 1 & -1 & -5 & 7 \\end{bmatrix} A=⎣⎡12123−110−5−2−17⎦⎤
化简，得
得到
{
x
1
−
3
x
3
+
4
x
4
=
0
x
2
+
2
x
3
−
3
x
4
=
0
\\begin{cases} x_1 - 3x_3+4x_4=0\\\\ x_2+2x_3-3x_4=0\\\\ \\end{cases}
{x1−3x3+4x4=0x2+2x3−3x4=0
移项
{ x 1 = 3 x 3 − 4 x 4 x 2 = − 2 x 3 + 3 x 4 \\begin{cases} x_1 = 3x_3-4x_4\\\\ x_2=-2x_3+3x_4 \\end{cases} {x1=3x3−4x4x2=−2x3+3x4
令 x 3 = c 1 , x 4 = c 2 x_3=c_1,x_4=c_2 x3=c1,x4=c2 有
{
x
1
=
3
c
1
−
4
c
2
x
2
=
−
2
c
1 以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（12）：向量组的秩的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（16）：向量和矩阵的极限