机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（11）：向量组的线性相关性
Posted 海轰Pro
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（11）：向量组的线性相关性相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
前言
Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
往期文章
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（1）：二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（3）：行列式的性质
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（4）：行列式按行（列）展开
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（5）：克拉默法则
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（6）：矩阵的运算
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（7）：逆矩阵
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（8）：矩阵的初等变换
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（9）：矩阵的秩、线性方程组的解
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（10）：向量组及其线性组合
4.2 向量组的线性相关性
定义4
线性相关/无关
给定向量组： A : a 1 , a 2 , . . . . , a m A:a_1,a_2,....,a_m A:a1,a2,....,am，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km（至少有一个 k k k不为0）使
k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . . + k m a m = 0 k_1a_1 + k_2a_2 + .... + k_ma_m = 0 k1a1+k2a2+....+kmam=0
则称向量组A是线性相关的
否则称其为线性无关（ k 1 , k 2 , . . . k m 全 为 0 k_1,k_2,...k_m全为0 k1,k2,...km全为0）
特殊情况
（1） 当 m = 1 时，向量组A也就只含有一个向量，即 A : a A:a A:a
- a = 0 时， 线性相关（任意一个k都会使得 k a = 0 ka = 0 ka=0，一定就存在一个 k k k使得 k a = 0 ka=0 ka=0，所以一定线性相关）
- a != 0 时， 线性无关（只有当k = 0 时，才会使得 k a = 0 ka = 0 ka=0，所以一定线性无关）
（2） 当 m = 2 时， A : a 1 , a 2 A:a_1,a_2 A:a1,a2，其线性相关的充分必要条件是 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2的分量对应成比例，几何意义是两向量共线
当 A : a 1 , a 2 A:a_1,a_2 A:a1,a2线性相关时
k 1 a 1 + k 2 a 2 = 0 k_1a_1 + k_2 a_2 = 0 k1a1+k2a2=0
k 1 a 1 = − k 2 a 2 k_1a_1 = -k_2 a_2 k1a1=−k2a2
a 1 a 2 = − k 2 k 1 ( k 1 ≠ 0 ) \\frac{a_1}{a_2} = \\frac{-k_2}{k_1}(k1\\neq0) a2a1=k1−k2(k1=0)
得到 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2的分量对应成比例
反过来也一样
（3） 当 m = 3 时， A : a 1 , a 2 , a 3 A:a_1,a_2,a_3 A:a1,a2,a3，其线性相关的几何意义是三向量共面
当 A : a 1 , a 2 , a 3 A:a_1,a_2,a_3 A:a1,a2,a3线性相关时
k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 = 0 k_1a_1 + k_2a_2 + k_3a_3 = 0 k1a1+k2a2+k3a3=0
k 3 a 3 = − k 1 a 1 − k 2 a 2 k_3 a_3 = - k_1 a_1 - k_2 a_2 k3a3=−k1a1−k2a2
a 3 = − k 1 k 3 a 1 − k 2 k 3 a 2 a_3 = -\\frac{k_1}{k_3}a_1 - \\frac{k_2}{k_3}a_2 a3=−k3k1<以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（11）：向量组的线性相关性的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理
机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（16）：向量和矩阵的极限