Rinne Loves Sequence

Posted 2021-10-10 H-w-H

Rinne Loves Sequence

推式子

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n[gcd(a_i,a_j)=1] \\ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=1]\times cn{t}_i\times cn{t}_j-\sum _{i=1}^n[gcd(i,i)=1] \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}cn{t}_i\times cn{t}_j \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{n}{d}}cn{t}_{id}\times cn{t}_{jd} \end{gathered}$$

解释

添加一个数产生的贡献是：找到当前这个数的所有因子，用$\mu (d)\times cn{t}_d$表示当前这个数对应的$d$产生的贡献。

同理删除一个数的贡献就是减去$\mu (d)\times cn{t}_d$。

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
// #define int long long
const int N = 5e5+10;
int p[N], tot, mu[N];
bool st[N];
vector<int> fac[N];
void init() {
    mu[1] = 1;
    for(int i=2; i<N; i++) {
        if(!st[i]) p[tot++] = i, mu[i] = -1;
        for(int j=0; j<tot&&i*p[j]<N; j++) {
            st[i*p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) break;
            mu[i*p[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i=1; i<N; i++) {
        for(int j=i; j<N; j+=i) {
            fac[j].push_back(i);
        }
    }
}
int vis[N], num[N];
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    init();
    ll n, ans = 0;
    scanf("%lld", &n);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int f, x;
        cin >> f >> x;
        if(f == 1) {
            if(vis[x]) continue;
            vis[x] = 1;
            for(auto it : fac[x]) {
                ans += mu[it] * num[it];
                num[it]++;
            }
        }
        else if(f == 2) {
            if(!vis[x]) continue;
            vis[x] = 0;
            for(auto it : fac[x]) {
                num[it]--;
                ans -= mu[it] * num[it];
            }
        }    
        else {
            cout << ans << endl;
        }
    }
    return 0;
}