[ARC126C]Maximize GCD

Posted 2021-10-10 StaroForgin

Maximize GCD

题解

首先，如果我们可以直接将所有数都补得比最大的数大，那肯定就会让它们全部相等，求出这个最大值即可。
否则，我们一定会找到$[1,maxx]$中的一个数，将所有数都补成这个数的倍数。

首先如果我们观察每个数的余数变化规律，我们很容易come up with一个数论分块的做法。
很明显，这个对于$\lfloor \frac{x}{i}\rfloor$相同的$i$，它们的余数是可以差分的，差分值也可以差分。
所以我们很容易通过这种方法求出每一个数作为我们目标的$gcd$时的答案。
但这种方法是$O\left(n\sqrt{n}\right)$，根本过不了。然而我比赛时还在那卡了半天

既然横着不行，我们考虑竖着来，对每个$i$求每个$A_j$的贡献。
很明显，这贡献的变化也是有规律可循的。
它是$i,i-1,i-2,i-3,i-4,..0$的循环，所以我们可以考虑通过前缀和的方法求出答案。
我们单独记录下每个$x$在序列中的出现次数，再记录下前缀的$su{m}_i={\sum }_{i=1}^{n}i\times cn{t}_i$。
对于值域为$[id+1,(i+1)d]$区间内的数的贡献，显然是$(si{z}_{(i+1)d}-si{z}_{id})(i+1)d-(su{m}_{i+1}d-su{m}_{id})$，可以直接一次求出。

显然，对于$d$我们需要询问$\lceil \frac{A}{d}\rceil$个区间。
时间复杂度显然为$O\left(n+A\ln A\right)$。

源码

注意最后一个区间可能会枚出$3\times 10^5$的范围。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 600005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;       
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;   
const int mo=1e9+7;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int lim=1e9;
const int n1=400;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,cnt[MAXN];LL K,a[MAXN],ans,sum[MAXN],sum1[MAXN];
signed main(){
	read(n);read(K);LL maxx=0,summ=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),maxx=max(a[i],maxx),cnt[a[i]]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)summ+=maxx-a[i];int tim=0;LL now=0;
	if(summ<=K){printf("%lld\\n",maxx+(K-summ)/n);return 0;}
	for(int i=1;i<=600000;i++)sum[i]=sum[i-1]+1ll*cnt[i],sum1[i]=sum1[i-1]+1ll*i*cnt[i];
	for(int i=1;i<=maxx;i++){
		summ=0;
		for(int j=i;j<=600000;j+=i){
			summ-=sum1[j]-sum1[j-i],
			summ+=1ll*j*(sum[j]-sum[j-i]);
		}
		if(summ<=K)ans=1ll*i;
	}
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;
}

谢谢！！！