力扣：673. 最长递增子序列的个数

Posted 2021-10-10 战场小包

题源：最长递增子序列的个数

做这个题之前可以顺路复习一下LIS最长递增子序列问题。

1. LIS

题源：最长递增子序列

最长递增子序列有两种做法；O(n2)的动态规划和O(nlogn)的贪心+二分。

1.1 动态规划

定义dp[i]为以第i个元素为结尾的最长上升子序列长度，其中num[i]必须被选择，那么状态转移方程为(dp初始化值为1)：
dp[i] = max(dp[j]) + 1; j < i, num[i] > num[j]

def findNumberOfLIS(nums):
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

复杂度分析：

• 时间复杂度: O(n2)
• 空间复杂度: O(n) dp[n]借助的空间

1.2 贪心 + 二分查找

我们要求得最长的上升子序列，那么我们应该保证序列上升的尽可能慢，因此每次添加到子序列后的数尽可能地小。
基于上面的想法，维护一个数组d[i]，表示长度为i的最长上升子序列，且d[i]为满足长度为i的上升子序列的最小值，使用len记录数组d的元素个数，初始值d[0] = num[0]。

算法流程：

• 遍历数组nums，当遍历到nums[i]时：
  • 若nums[i] > d[len]，直接加入到数组末尾，len+1
  • 否则，在d数组中寻找第一个大于nums[i]的位置，将其插入
• 以序列[0,2,5,3,7,101,18]
  • 第一步插入0：d = [0]
  • 第二步插入2：d = [0,2]
  • 第三步插入5：d = [0,2,5]
  • 第四步更新长度为3的最长子序列的末尾值：d = [0,2,3]
  • 第五步插入7：d = [0,2,3,7]
  • 第六步插入101：d = [0,2,3,7,101]
  • 第四步更新长度为5的最长子序列的末尾值：d = [0,2,3,7,18]，得到最长递增子序列长度为5

def findNumberOfLIS(nums):
    d = []
    for n in nums:
        if not d or n > d[-1]:
            d.append(n)
        else:
            left, right = 0, len(d) - 1
            while left < right:
                mid = left + (right - left) // 2
                if d[mid] < n:
                    left = mid + 1
                else:
                    right = mid
            d[left] = n
    return len(d)

复杂度分析：

• 时间复杂度: O(nlogn) 使用了二分查找
• 空间复杂度: O(n) d[n]借助的空间

2. 最长递增子序列的个数

2.1 动态规划

在LIS的基础上做进一步的求解：

定义dp[i]为以第i个元素为结尾的最长上升子序列长度，freq[i]为以第i个元素为结尾的最长上升子序列的个数。若nums的最长子序列长度为maxLen，那么答案为所有满足dp[i]=maxLen所对应的freq[i]之和。

dp[i] = max(dp[j]) + 1; j < i, num[i] > num[j]

freq[i]为所有满足dp[i]=dp[j] + 1的freq[j]之和

def findNumberOfLIS(nums):
    maxLen = 1
    freq = [1] * len(nums)
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                if dp[j] + 1 > dp[i]:
                    dp[i] = dp[j] + 1
                    freq[i] = freq[j]
                elif dp[j] + 1 == dp[i]:
                    freq[i] += freq[j]
        maxLen = max(maxLen, dp[i])
    sumFreq = 0
    for i in range(nums):
        if dp[i] == maxLen:
            sumFreq += freq[i]
    return sumFreq

复杂度分析：

• 时间复杂度: O(n2)
• 空间复杂度: O(n) dp[n]借助的空间