你知道二分的实质吗？怎么样的模板才能一次就通过？

Posted 2021-10-09 JunMain

二分算法的实质

二分的实质是两段性：
首先根据题目提取一个命题P(x)

1. [l,r]有些中是符合P(x)命题，是真命题
2. [l,r]有些数字中不符合P(x)命题，是假命题

根据[l,r]之中的真假命题将集合一分为二

第一种情况真命题在前(L逼近ans)

用L逼近ans的时候 mid = l + r + 1 >> 1

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
    	//注意第二种情况mid这么写不会死循环
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        //check(mid)判断是否满足真命题
        if (check(mid)) l = mid;	//相当于用l 去逼近 ans
        else r = mid - 1;			
    }
    return l;
}

第二种真命题在后(R逼近ans)

用r去逼近ans的时候 mid = l + r >> 1

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        //check(mid)检查是否符合真命题
        if (check(mid)) r = mid;		//相当于r 逼近 ans
        else l = mid + 1;
    }
    return l;		//最后l == r 哪个都一样
}

例题：

数的范围

题目描述：
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式：
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。


输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
1 ≤ n ≤ 100000
1 ≤ q ≤ 10000
1 ≤ k ≤ 10000
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1

分析：

题目就是要求升序数字中一个数 第一次出现的下标 和 最后一次出现的下标

刚好对应的我们的两种情况的模板

设找的数是x, x的下标是ix

第一次x出现的下标：就是要求[l,ix-1] [ix,r]
命题P(x)是符合[ix,r]的集合
我们发现相当于r来逼近ix是我们刚才给出的第二种情况(真命题在后)
r = mid; （理解为r逼近ix）
mid = l + r >> 1;

最后一次x出现的下标就是：[l,ix] [ix+1,r]
命题P(x)是符合[l,ix]的集合
我们发现相当于l去逼近ix是我们刚才给出的第一种情况(真命题在前)
l = mid; (理解为l逼近ix)
mid = l + r + 1 >> 1;

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N = 10010;
using namespace std;
int a[N];
int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i ++)    cin >> a[i];

    while (k--)
    {
        int x, l = 0, r = n-1;
        cin >> x;
        while (l < r)       //找第一次出现x的下标 用ix表示x下标   
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (a[mid] >= x)    r = mid;    //    [l,ix-1] [ix,r]   相当于利用r去逼近x的下标 
            else l = mid + 1;
        }

        if (a[l] != x)  cout << -1 << " ";
        else    cout << l << " ";

        l = 1, r = n;
        while (l < r)                  //找第二次出现x的下标 用ix表示x下标         
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (a[mid] <= x)    l = mid;    // [l,ix] [ix+1,r]      相当于l逼近x的下标
            else r = mid - 1;
        }
        if(a[l] != x)   cout << -1 << " " << endl;
        else cout << l << endl;
    }

    return 0;
}

原版见y总的二分模版，学算法就上acwing