算法竞赛进阶指南基本算法：递推与递归

Posted 2021-10-09 karshey

递归实现指数型枚举

题
模板题：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
const int N=1e5+10;
int n;
vector<int>chosen;

void dfs(int i)//递归到第i个 
{
	if(i==n+1)
	{
		for(int j=0;j<chosen.size();j++) printf("%d ",chosen[j]);
		printf("\\n");
		return;
	}
	
	//不选
	dfs(i+1);
	
	//选
	chosen.pb(i);
	dfs(i+1);
	chosen.pop_back();//恢复现场 
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	dfs(1); 
	return 0; 
}

递归实现组合型枚举

题
选在不选前面就会可字典序。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
const int N=1e5+10;
int n,m;
vector<int>v;

void dfs(int x)
{
	if(v.size()>m||v.size()+(n-x+1)<m) return;
	if(v.size()==m)
	{
		for(int i=0;i<v.size();i++) printf("%d ",v[i]);
		printf("\\n");
		return;
	}
	//选
	v.pb(x);
	dfs(x+1); 
	v.pop_back();
	
	//不选
	dfs(x+1);
		
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	dfs(1);
	return 0; 
}

递归实现排列型枚举

题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pb push_back
const int N=10;
int n;
int chosen[N],v[N];
void dfs(int x)
{
	if(x==n+1)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",chosen[i]);
		printf("\\n");
		return;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(v[i]) continue;
		chosen[x]=i;
		v[i]=1;
		dfs(x+1);
		v[i]=0;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);	
	dfs(1);
	return 0; 
}

费解的开关

题

想要把所有的灯从0变1。如果要变一个灯，那么这个灯的上下左右都会跟着变化。
所以，当只想让第一行的某个位置变化时，只需要点下一行的这个位置即可。
也就是说，每确定了第i行，那么想改变下一行，就要通过点i+2行的灯改i+1行的情况。

因为想求全变1的最小操作数，我们想看一个样例：

10111
01101
10111
10000
11011

已知第一行是10111。但我们不能直接从10111开始算，因为可能第一行是10011的时候操作数会更小，所以我们要枚举第一行的每一种情况。第一行的不同情况都有可能改变后面的情况，就有可能造成不同的、甚至更小的操作数。

用y总的话来解释为什么要枚举第一行的情况：

枚举的是第一行按哪些开关。只要第一行按哪些开关确定了，后面所有开关按不按就确定了。但第一行的每个开关不能确定按不按，需要枚举所有情况。

枚举的每一次情况代表的是每一种切换状态，即10111代表0234位置都按一次：

第一行枚举的i的第j位如果是1，是指第一行的这一位应该被切换状态(开灯或关灯)，而和其初始状态无关。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
const int N=1e5+10;
char g[10][10],cpy[10][10];

void turn(int x,int y)
{
	int dx[5]={0,0,0,1,-1};
	int dy[5]={0,1,-1,0,0};
	for(int i=0;i<5;i++)
	{
		int tx=x+dx[i],ty=y+dy[i];
		if(tx>=0&&tx<5&&ty>=0&&ty<5)
		{
			g[tx][ty]^=1;
		}
	}
}

int solve()
{
	int ans=0x3f3f3f3f;
	
	for(int i=0;i<(1<<5);i++) //枚举第一行的每一种情况 
	{
		int res=0;
		memcpy(cpy,g,sizeof(g)); //备份一下原图 
		for(int j=0;j<5;j++)  //第一行每一位的情况 
		{
			if(i>>j&1) //如果是1则让它切换状态，因此枚举了所有要切换的状态
			{
				turn(0,j);
				res++;
			}
		}
		
		for(int j=0;j<4;j++) //前四行 
		{
			for(int k=0;k<5;k++)
			{
				if(g[j][k]=='0')
				{
					res++;
					turn(j+1,k);
				}
			}
		}
		
		int flag=0;
		for(int j=0;j<5;j++) 
		{
			if(g[4][j]!='1')
			{
				 flag++;break;
			}
		}
		if(!flag) ans=min(ans,res);
		memcpy(g,cpy,sizeof(cpy));
	}
	if(ans>6) ans=-1;
	return ans;
}

int main()
{
	//想要全变1
	int t;scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		for(int i=0;i<5;i++) scanf("%s",g[i]);
		int a=solve();
		printf("%d\\n",a);
	} 
	return 0; 
}

奇怪的汉诺塔

题

求的是最小操作数，dp；
比如这是一个三个盘子的汉诺塔，有ABC三个积木，我们的操作是把AB挪到一个盘子上，C挪到另一个盘子上，再把AB移到C上，即d[3]=1+2*d[2];其中移动AB其实就是有两个积木三个盘子的汉诺塔。
同理，对于四个盘子的汉诺塔，假如有ABCDE5个积木，我们可以：

A BCDE 把A移走 对BCDE进行3盘汉诺塔 再把A移来
AB CDE 把AB移走 对BCD进行3盘汉诺塔 再把AB移来
ABC DE ....
ABCD E

其中，前面的移走和移回来都是4盘汉诺塔，BCDE是三盘汉诺塔，即f[i]=min(2*f[j]+d[i-j] 枚举每一个j；

用动态规划的思想来看即：ABCDE的四盘汉诺塔由一部分四盘汉诺塔（移过去移过来）和一部分三盘汉诺塔（前面占用了一盘，只剩三盘）组成。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
const int N=15;
int d[N],f[N];
int main()
{
	d[1]=1;
	for(int i=2;i<=12;i++) d[i]=1+2*d[i-1];
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[1]=1;
	for(int i=1;i<=12;i++)
	{
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			f[i]=min(f[i],2*f[j]+d[i-j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=12;i++) printf("%d\\n",f[i]);
	return 0; 
}

约数之和

题
数论+快速幂。

对应知识在这里：知识

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a));
const int N=1e5+10;
const int MOD=9901;
int ans=1;

int ksm(int a,int b)//快速幂 返回a^b 
{
	int anss=1;
	a%=MOD;
	while(b) //最后一位是1 
	{
		if(b&1) anss=anss%MOD*a; //模拟一下就知道意思了 
		b>>=1; //二进制右移一位 
		a=a%MOD*a%MOD;
	}
	return anss;
} 

ll summ(int p,int c) //求约数之和 
{
	if(c==0) return 1;
//	if(c&1)
//        return ((1+ksm(p,(c+1)>>1))*summ(p,(c-1)>>1))%MOD;//奇数的情况下
//    else
//        return ((1+ksm(p,c>>1))*summ(p,(c>>1)-1)+ksm(p,c))%MOD;//偶数的情况下
	if(c%2==0) return (ksm(p,c)+(1+ksm(p,c>>1))*summ(p,(c>>1)-1))%MOD;
	else  return ((1+ksm(p,(c+1)>>1))*summ(p,(c-1)>>1))%MOD;
}

int main()
{
	int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
		
	for(int i=2;i<=a;i++)
	{
		int t=0;
		while(a%i==0)
		{			
			t++;a/=i;			
		}
		if(t) 
		{
			ll temp=summ(i,t*b);
			ans=ans%MOD*temp%MOD;
		}
	} 
	if(a==0) printf("0"); //a一开始就是0 
	else printf("%d",ans);
	return 0; 
}

之前T了一次，然后反复提交和对比代码之后发现！！
c>>1-1会T，(c>>1)-1不会。这一波是运算符优先级记错了。

分形之城

题
还没做，先别为难自己。下次一定。