机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（10）：向量组及其线性组合

Posted 2021-10-08 海轰Pro

文章目录

• 前言
• 往期文章
• 4.1 向量组及其线性组合
• • 定义1
  • 定义2
  • 定理1
  • 定义3
  • 定理2
  • 推论
  • 举例
  • • 例 1
    • 例2
  • 定理3
  • 小结
• 结语

前言

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4.1 向量组及其线性组合

定义1

1. n维向量

定义：n个有次序的数$a_1,a_2,....,a_n$所组成的数组，其中这n个数成为该向量的n个分量，第i个数$a_i$称为第i个分量

2. 实向量

定义：向量中的所有的分量均为实数

3. 复向量

定义：向量中至少有一个分量为复数

4. n维列向量a

$$a=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_n\end{array}\right]$$

5. n维行向量b

$$b=(b_1,b_2,...,b_n)$$

一般来说，列向量用黑体小写字母$\alpha 、\beta$等表示，行向量用${\alpha }^T、{\beta }^T$等表示
无特殊说明时，一般看作为列向量

6. 三维向量空间

定义：三维向量的全体所组成的集合

R 3 = { r = ( x , y , z ) T ∣ x , y , z ∈ R } \\mathbb{R}^3 = \\{r = (x, y, z)^T | x, y, z \\in \\mathbb{R} \\} R3={r=(x,y,z)T∣x,y,z∈R}

称为三维向量空间

在讨论向量的运算时，将向量看作有向线段

在讨论向量集合时，则把向量r看作以r为向径的点P，从而把点P的轨迹作为向量集的图形

向径：一般指位置矢量。在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段

例如点集 Π = { P ( x , y , z ) ∣ a x + b y + c z = d \\Pi = \\{ P(x, y, z) | ax + by + cz = d Π={P(x,y,z)∣ax+by+cz=d是一个平面（a、b、c不全为0）

假设a = b = c = 1 d = 0
则为 x + y + z = 0
稍微变形一下 z = - x - y
这样就容易看出其是一个平面了

于是向量集 { r = ( x , y , z ) T ∣ a x + b y + c z = d } \\{ r = (x, y, z)^T | ax + by + cz = d \\} {r=(x,y,z)T∣ax+by+cz=d}

也叫做向量空间${\mathbb{R}}^3$中的平面，并把$\Pi$作为它的图形

7. n维向量空间

n维向量的全部所组成的集合

R n = { x = ( x 1 , x 2 , . . . . , x n ) T ∣ x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ R } \\mathbb{R}^n = \\{ x = (x_1, x_2,...., x_n)^T | x_1,x_2,...,x_n \\in \\mathbb{R} \\} Rn={x=(x1​,x2​,....,xn​)T∣x1​,x2​,...,xn​∈R}

其中n维向量的集合 { x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T ∣ a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . . + a n x n = b \\{ x = (x_1,x_2,...,x_n)^T | a_1x_1 + a_2x_2 +.... + a_nx_n = b {x=(x1​,x2​,...,xn​)T∣a1​x1​+a2​x2​+....+an​xn​=b叫做n维向量空间${\mathbb{R}}^n中的n-1维超平面$

8. 向量组

定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合

一个 m * n 矩阵的全体列向量 是一个含有 n个 m维列向量的向量组
全体行向量是一个含 m个 n维行向量的向量组

矩阵的列向量组和行向量组都是只含 有限个向量 的向量组；反之，一个含有限个向量组总可以构成一个矩阵

比如，m个n维列向量所组成的向量组$A:a_1,a_2,...,a_m(a_i,i\in [1,m]表示一个n维列向量)$可以构成一个n * m 矩阵
$$A=(a_1,a_2,...,a_m)$$

m个n维行向量所组成的向量$B:{\beta }_1^T,{\beta }_2^T,机器学习｜数学基础Mathematics\; for\; Machine\; Learning系列之图论：树及其性质$

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