2018 ICPC 徐州网络赛 D. Easy Math（思维，反演，杜教筛）

Posted 2021-10-08 繁凡さん

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题目链接

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Problem

计算
$$\sum _{i=1}^m\mu (i\times n)$$
$m\le 2\times 10^9,n\le 10^{12}$

Solution

设 $f(m,n)=\sum _{i=1}^m\mu (i\times n)$

显然若 $i\times n$​​ 含有平方因子，答案即为 $0$​​ $\Rightarrow$​​ $\gcd (i,n)\ne 1\Rightarrow f(m,n)=0$​

借此条件考虑进行常规反演：

$$\begin{array}{rl}f(m,n)& =\sum _{i=1}^m\mu (i\times n)\\ & =\sum _{i=1}^m\mu (i\times n)[\gcd (i,n)==1]\\ & =\sum _{i=1}^m\mu (i)\times \mu (n)[\gcd (i,n)==1]\\ & =\mu (n)\times \sum _{i=1}^m\mu (i)\times \sum _{d|\gcd (i,n)}\mu (d)\\ & =\mu (n)\times \sum _{d=1}^m\mu (d)\sum _{i=1}^m\mu (i)[d\mid i][d\mid n]\\ & =\mu (n)\times \sum _{d\mid n\&\&d\le m}\mu (d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\mu (i\times d)\\ & =\mu (n)\times \sum _{d\mid n\&\&d\le m}\mu (d)f(\lfloor \frac{m}{d}\rfloor ,d)\end{array}$$
显然直接记忆化搜索即可。

临界条件：

• $f(0,n)=0$

• $f(1,n)=\mu (n)$

• $f(m,1)=\sum _{i=1}^m\mu (i)$​，$m\le 2\times 10^9$，杜教筛计算即可。

此时直接递归计算时间复杂度为 $O(我也不知道多少反正就是TLE了)$

由于此时 $n$​ 中没有平方因子，所以我们可以直接枚举质因子拼凑出 $n$

$n\le 10^{12}$​，显然最多只有 $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31=200560490130<1\times 10^{12}$​，此时每次枚举 $n$​ 的因子最多只需要枚举 $11$ 次，从 $\sqrt{n}$

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