[Mdp] lc673. 最长递增子序列的个数(LIS+算法优化+算法拓展)

Posted 2021-10-08 Ypuyu

文章目录

• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：673. 最长递增子序列的个数

前置知识：

• [Mdp] lc300. 最长递增子序列(LIS+LIS贪心优化+LIS详解+模板题)
• 本题拓展版，相同的最长上升子序列计数仅算一次。《算法竞赛进阶指南》, usaco training 4.3-----314. 低买

2. 题目解析

LIS 的简单拓展，中间记录方案数即可。

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简单回顾：

• 状态定义：f[i]：以 i 结尾的最长上升子序列个数。
• 状态转移：枚举 j，范围 0~i-1，当 a[j] < a[i] 即 f[i]=max(f[i], f[j]+1)。
• 有贪心做法。

对标本题：

• 多开一个数组记录以 i 结尾的最长上升子序列的个数即可。
• 状态定义：g[i]：以 i 结尾的最长上升子序列的个数。在此，即便最长上升子序列相同也是可以的。
• 状态转移：当 a[i] > a[j] 时，说明最长上升子序列可能被更新，分两种情况对待。
  • 当 f[i] < f[j] + 1 时，说明以 i 结尾的最长上升子序列被更新。则最长上升子序列的个数也要被更新，即 g[i]=g[j]，即以 i 结尾的 LIS 数量等于以 j 结尾的 LIS 数量。
  • 当 f[i]=f[j]+1 时，说明以 i 结尾的最长上升子序列长度未被更新，但两种情况都是符合最大值。则 g[i]+=g[j]，保留原来的以 i 结尾的 LIS 所有方案，再加上以 j 结尾的 LIS 所有方案。在此，重复情况也要进行统计。

例如：1,2,2,4 这个。那么两个 1，2，4 都是最长上升子序列。都需要计算并计数。在 《算法竞赛进阶指南》, usaco training 4.3-----314. 低买 中只让计算不重复的，所以还得考虑去重就更麻烦了。

本题可以用 LIS 贪心搞成 $O(nlogn)$，也可树状数组。具体看官方题解评论区即可。

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• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

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dp

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n), g(n);

        int mx = 0, cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
            f[i] = g[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j ++ ) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    if (f[i] < f[j] + 1) f[i] = f[j] + 1, g[i] = g[j];
                    else if (f[i] == f[j] + 1) g[i] += g[j];
                }
            }
            if (mx < f[i]) mx = f[i], cnt = g[i];
            else if (mx == f[i]) cnt += g[i];
        }

        return cnt;
    }
};

---

go

func findNumberOfLIS(nums []int) int {
    n := len(nums)
    f := make([]int, n)
    g := make([]int, n)

    mx, cnt := 0, 0
    for i := 0; i < n; i ++ {
        f[i], g[i] = 1, 1
        for j := 0; j < i; j ++ {
            if nums[i] > nums[j] {
                if f[i] < f[j] + 1 {
                    f[i] = f[j] + 1
                    g[i] = g[j]
                } else if f[i] == f[j] + 1 {
                    g[i] += g[j]
                }
            }
        }
        if mx == f[i] {
            cnt += g[i]
        } else if mx < f[i] {
            mx = f[i]
            cnt = g[i]
        }
    }

    return cnt
}