力扣每日一题：650 只有两个键的键盘

Posted 2021-10-07 战场小包

题源：只有两个键的键盘

初读这个题，感觉就应该是动态规划，但是找不出状态转移方程，当看到题解之后还是感到非常遗憾，就差一点点。

1. 思路与想法

题目中只有两种操作，copy和paste，其中copy必须拷贝当前的所有内容，最终得出n个A所需操作的最小次数。

最小次数，copy全部，这两个在一开始就给予了我贪心的感觉，对于n个A来说，它期望的上一次操作是n/2处整体复制粘贴过来，n/2是n/4…依次类推，就可以得到最小的次数。但很快我发现了上述思想的漏洞，举个例子，如果此时的n是15，那就没法通过n/2->n/4这种模式。

15 = 3 * 5，15虽然不能通过上述的模式得来，但可以通过因数3来操作得来。但很可惜在这里我并没有反应到质因数的层面。

分析到上面，那么问题的实现就简单了：

• 对于质数，它无法通过任何因数加速它，所以他的操作数就是它本身
• 对于合数，它可以通过因数来加速操作，但当时苦于想不出动态规划的转移方程，我选择从头到尾构建一个存储[1,n]的数组，数组值为最小操作数。

1.1 算法流程

• freq[1-n]依次赋值为1-n，修改freq[1] = 0
• 遍历2-n，对于每次遍历更新其小于等于n的所有倍数的最小次数
• 全部遍历完成后，返回freq[n]

1.2 代码

def minSteps(n):
    freq = [x for x in range(n + 1)]
    freq[1] = 0
    for i in range(2, n + 1):
        j = 2
        tmp = i * j
        while tmp <= n:
            # 依次更新当前i的倍数
            freq[tmp] = min(freq[i] + j, freq[tmp])
            j += 1
            tmp = i * j
    return freq[n]

2. 官方题解

2.1 动态规划

f[i] 表示打印出i的A的最少操作次数。

对于i来说，应先具有j个A，使用一次copy操作，再使用若干次paste操作，得到i

因此j应当时i的因数，粘贴的次数为i/j - 1。

状态转移方程：
f[i] = min(f[j] + i / j) j是i的因数

def minSteps(n): 
    freq = [0] * (n + 1)
    for i in range(2, n + 1):
        freq[i] = float("inf")
        j = 1
        while j * j <= i:
            if i % j == 0:
                # 状态转移
                freq[i] = min(freq[i], freq[i // j] + j)
                freq[i] = min(freq[i], freq[j] + i // j)
            j += 1
    return freq[n]

2.2 质因数分解

上面动态规划的状态转移方程如下：
f[i] = min(f[j] + i / j) (j是i的因数)

也等价于：
f[i] = min(f[i / j] + j) (j是i的因数)

因此问题转化为：给定初始值n，我们希望通过若干次操作将其变为 1。每次操作我们可以选择n的一个大于 1 的因数j，耗费j 的代价并且将n减少为 n / j。在所有可行的操作序列中，总代价的最小值即为 freq[n]。本质上就是对n进行质因数分解，统计所有质因数的和。

def minSteps(n): 
    ans = 0
    i = 2
    # 分解质因数
    while i * i <= n:
        while n % i == 0:
            ans += i
            n //= i
        i += 1

    if (n > 1):
        ans += n
    return ans