牛客练习赛55E树
Posted Jozky86
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了牛客练习赛55E树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
题意：
你有一颗大小为n 的树，点从 1 到 n 标号。
设dis(x,y)表示 x 到 y 的距离。
求
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
i
s
2
(
i
,
j
)
\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{n}dis^2(i,j)
∑i=1n∑j=1ndis2(i,j)对998244353取模的结果
题解：
我们以1为根，设dep[i]表示第i个点的深度
d
i
s
(
x
,
y
)
=
d
e
p
[
x
]
+
d
e
p
[
y
]
−
2
d
e
p
[
l
c
a
(
x
,
y
)
]
dis(x,y)=dep[x]+dep[y]-2dep[lca(x,y)]
dis(x,y)=dep[x]+dep[y]−2dep[lca(x,y)]
所以
将dis(i,j)展开
d
i
s
2
(
i
,
j
)
=
d
e
p
2
[
x
]
+
d
e
p
2
[
y
]
+
2
∗
d
e
p
[
x
]
∗
d
e
p
[
y
]
+
4
∗
d
e
p
2
[
l
c
a
(
x
,
y
)
]
−
4
∗
(
d
e
p
[
x
]
+
d
e
p
[
y
]
)
∗
d
e
p
[
l
c
a
(
x
,
y
)
]
dis^2(i,j)=dep^2[x]+dep^2[y]+2*dep[x]*dep[y]+4*dep^2[lca(x,y)]-4*(dep[x]+dep[y])*dep[lca(x,y)]
dis2(i,j)=dep2[x]+dep2[y]+2∗dep[x]∗dep[y]+4∗dep2[lca(x,y)]−4∗(dep[x]+dep[y])∗dep[lca(x,y)]
对于前两项
d
e
p
2
[
x
]
+
d
e
p
2
[
y
]
dep^2[x]+dep^2[y]
dep2[x]+dep2[y]:因为x和y都是枚举1~n，所以就是求
2
d
e
p
[
i
]
∗
d
e
p
[
i
]
,
1
<
=
i
<
=
n
2dep[i]*dep[i],1<=i<=n
2dep[i]∗dep[i],1<=i<=n
对于第三项：
2
∗
d
e
p
[
x
]
∗
d
e
p
[
y
]
2*dep[x]*dep[y]
2∗dep[x]∗dep[y]:先求出
m
a
x
x
=
∑
i
=
1
n
d
e
p
[
i
]
maxx=\\sum_{i=1}^{n}dep[i]
maxx=∑i=1ndep[i]，然后用
∑
i
=
1
n
m
a
x
x
∗
d
e
p
[
i
]
∗
2
\\sum_{i=1}^{n}maxx*dep[i]*2
∑i=1nmaxx∗dep[i]∗2
对于后两部分，我们需要计算lca(x,y)=i的(x,y)这样的数对个数，以及dep[x]+dep[y]之和
先解答第一个：数对个数为：
s
i
z
e
2
[
i
]
−
∑
j
∈
s
o
n
[
i
]
s
i
z
e
2
[
j
]
size^2[i]-\\sum_{j∈son[i]}size^2[j]
size2[i]−∑j∈son[i]size2[j].相当于整个子树内的任意两个点组合，这样会重复，儿子j子树内的点会重复，要减去
第二个：
设
s
u
m
i
sum_{i}
sumi表示i这个子树的dep[x]之和
那么dep[x]+dep[y]之和为：
2
∑
j
∈
s
o
n
[
i
]
s
u
m
j
∗
(
s
i
z
e
[
i
]
−
s
i
z
e
[
j
]
)
+
2
d
e
p
[
i
]
∗
s
i
z
e
[
i
]
2\\sum_{j∈son[i]}sum_{j}*(size[i]-size[j])+2dep[i]*size[i]
2∑j∈son[i]sumj∗(size[i]−size[j])+2dep[i]∗size[i]。以y为根的子树内的点与会除y为根的子树外的点(都在以x的根的子树内)相互组队，同时所有点都可以与点x组队
详细可以看代码
代码：
敲错一个变量名，调了半小时，老演员了
#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
x= 0;
char c= getchar();
bool flag= 0;
while (c < '0' || c > '9')
flag|= (c == '-'), c= getchar();
while (c >= '0' && c <= '9')
x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
if (flag)
x= -x;
read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
if (x < 0) {
x= ~(x - 1);
putchar('-');
}
if (x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
startTime = clock ();
freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
endTime= clock();
printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn=2e6+9;
vector<int>vec[maxn];
ll siz[maxn];
ll sum=0;
ll dep[maxn];
ll num[maxn];
const int mod=998244353;
void dfs(int u,int fa){
siz[u]=1;
dep[u]=dep[fa]+1;
num[u]=dep[u];
for(auto v:vec[u]){
if(v==fa)continue;
dfs(v,u);
num[u]=(num[u]+num[v])%mod;
siz[u]+=siz[v];
}
}
void solve(int u,int fa){
ll sum1=siz[u]*siz[u]%mod;//lca(x,y)=i的(x,y)这样的数对个数
ll sum2=2*dep[u]*siz[u]%mod;//fx+fy
for(auto v:vec[u]){
if(v==fa)continue;
solve(v,u);
sum1=(sum1-siz[v]*siz[v]+mod)%mod;
sum2=(sum2+2*num[v]*(siz[u]-siz[v]))%mod;
}
sum=(sum+4*sum1%mod*dep[u]%mod*dep[u])%mod;
sum=((sum+mod-4*sum2%mod*dep[u]%mod)%mod+mod)%mod;
}
signed main()
{
rd_test();
int n;
read(n);
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
read(u,v);
vec[u].push_back(v);
vec[v].push_back(u);
}
dfs(1,0);
ll maxx=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
maxx=(maxx+dep[i])%mod;//第三部分
sum=(sum+(dep[i]以上是关于牛客练习赛55E树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
牛客练习赛84：牛客推荐系统开发之标签重复度（点分治+动态开点权值线段树）