AtCoder Beginner Contest 213G - Connectivity 2(状压dp神仙题)

Posted 2021-10-06 issue是fw

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题意

给定简单无向图 $G=(V,E)$,点的编号从$1$到$|V|=n$.对于$k=2..n$,求 $H=(V,E\prime \subseteq E)$ 的个数，使得 $1$ 与 $k$ 连通。

$n\le 17,m<=\frac{n\ast (n-1)}{2}$。

---

考虑最后图的状态,点$1$和点$k$处于同一个连通块,这个连通块到其他点没有边

定义全集$U=(1<<n)-1$

考虑枚举最后的这个点集$s$包含点$1,k$,定义$cnt(s)$表示子集$s$中包含的边

$f(S)$表示利用这$cnt(S)$条边把$S$连通的方案数

答案为

$$ans(k)=\sum _{1\in S,k\in S}f[S]\ast 2^{cnt(U-S)}$$

这样显然是正确的,因为$S$内部连通,而$S$点集和外面点之间的边都断掉,整下的$cnt(U-S)$条边怎么放都可以

怎么计算$f(S)?$正着转移有重复,反着考虑

$f(S)=2^{cnt(S)}-\sum _{T\in S\&\&S!=T}f(T)\ast 2^{S-T}$

但是考虑到在不合法方案中$S$中存在多个连通块,一个方案会在多个$T$中被计算

所以我们任取其中一点,只计算这个点所在的连通块就是唯一的

这样的分割就是唯一的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1<<21;
int n,m,f[1<<17],g[1<<17],a[17*17],b[17*17],bit[17*17],ans[18];
signed main()
{
	cin >> n >> m;
	bit[0] = 1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		bit[i] = bit[i-1]*2%mod;
		cin >> a[i] >> b[i];
		a[i]--; b[i]--;
	}
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)//计算每个点集内部的边数 
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if( ((i>>a[j])&1) && ((i>>b[j])&1) )	
				g[i]++;
	}
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
	{
		int x = 0;
		for(int j=0;j<n;j++)
			if( (i>>j)&1 ) { x = j; break; }
		f[i] = bit[g[i]];
		for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i )
		{
			if( ((j>>x)&1)==0 )	continue;
			f[i] = ( f[i]-f[j]*bit[g[i-j]]%mod )%mod;
		}
	}
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
	{
		if( (i&1)==0 )	continue;
		int temp = f[i]*bit[g[(1<<n)-1-i]]%mod;
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if( ((i>>j)&1)==0 )	continue;
			ans[j] = ( ans[j]+temp )%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++)	cout << ( ans[i]%mod + mod )%mod << endl;
	return 0;
}