AtCoder Beginner Contest 210 D - National Railway(枚举,优化)

Posted 2021-10-06 issue是fw

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选定节点$(i,j)$和$(q,w)$,假定$i<=q\&\&j<=w$

那么代价为

$$A_{i,j}+A_{q,w}+C\ast (q-i+w-j)$$

其中$(i,j)造成的代价为$$A_{i,j}-C\ast (i+j)$

而$(q,w)$造成的代价为$A_{q,w}+C\ast (q+w)$

所以我们可以枚举$(i,j)$作为左上的那个点,只需要对右下的所有$(q,w)$取一个最小值即可

这个可以使用二维树状数组/线段树,不过我们有更好的做法

我们枚举$(i,j)$时,$i$从最后一行往上枚举,$j$从最后一列往左枚举

定义$f[i][j]$表示以$(i,j)$为左上角$(H,W)$为右下角的矩阵内最小权值

转移方程为$f[i][j]=\min (f[i+1][j],f[i][j+1],A_{i,j})$

这样如果枚举$(i,j)$作为左上点,那么此时最优答案是

$$A_{i,j}-C\ast (i+j)+\min (f[i][j+1],f[i+1][j])$$

这样只计算了一个点在左上一个点在右下的情况

还需要做一遍一个点在左下,另一个点在右上的情况

此时维护的$f[i][j]$应该表示$(i,j)$为左下角$(1,W)$为右上角的矩阵的最小值,然后类似上面计算答案

代码就不写了…