机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数：克拉默法则
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简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
1.7 克拉默法则
内容
含有n个未知数
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn的n个线性方程的方程组
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
=
b
n
(1)
\\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\\\ ....................\\\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\\\ \\end{cases} \\tag1
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....................an1x1+an2x2+...+annxn=bn(1)
克拉默法则：如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即
D
=
∣
a
11
.
.
.
a
1
n
a
21
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
a
n
1
.
.
.
a
n
n
∣
≠
0
D=\\begin{vmatrix} a_{11} &... & a_{1n}\\\\ a_{21} & ... &a_{2n}\\\\ . & &. \\\\ . & & . \\\\ a_{n1} &... & a_{nn}\\\\ \\end{vmatrix} \\neq 0
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21..an1.........a1na2n..ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0
那么，方程组（1）就有唯一解
x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , . . . , x n = D n D x_1=\\frac{D_1}{D},x_2=\\frac{D_2}{D},...,x_n=\\frac{D_n}{D} x1=DD1,x2=DD2,...,xn=DDn
其中，
D
j
(
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
D_j(j=1,2,...,n)
Dj(j=1,2,...,n)是把系数行列式
D
D
D中的第j列元素用方程组右端的常数项替代后得到的n阶行列式，
即
D
j
=
∣
a
11
.
.
a
1
,
j
−
1
.
.
b
1
a
1
,
j
+
1
.
.
a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
.
.
a
n
,
j
−
1
.
.
b
n
a
n
,
j
+
1
.
.
a
n
n
∣
D_j=\\begin{vmatrix} a_{11} &..& a_{1,j-1}&..&b_1&a_{1,j+1}&.. & a_{1n}\\\\ . & &. & & . & .& &. \\\\ . & &. & & . & .& &. \\\\ . & &. & & . & .& &. \\\\ a_{n1} &..& a_{n,j-1}&..&b_n&a_{n,j+1}&.. & a_{nn}\\\\ \\end{vmatrix}
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