机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数：逆矩阵
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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换
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2.3 逆矩阵
定义
对于n阶矩阵
A
A
A，如果有一个n阶矩阵
B
B
B，使得
A
B
=
B
A
=
E
AB=BA=E
AB=BA=E
说明矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵
记住
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵一定是唯一的。
证：
假设 B、C均是A的逆矩阵，有
B = B E = B ( A C ) = ( B A ) C = E C = C B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
得出 B=C
所以
A的逆矩阵是唯一的。
写法
A
A
A的逆矩阵记作
A
−
1
A^{-1}
A−1
若
A
B
=
B
A
=
E
，
则
B
=
A
−
1
AB=BA=E，则B=A^{-1}
AB=BA=E，则B=A−1
定理1
内容
若矩阵A可逆，那么 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq 0 ∣A∣=0
证明
因为 矩阵A可逆
那么一定有
A
−
1
A^{-1}
A−1，使得
A A − 1 = E AA^{-1}=E AA−1=E
推出
∣ A A − 1 ∣ = ∣ E ∣ = = > ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = ∣ E ∣ = 1 = = > ∣ A ∣ ≠ 0 |AA^{-1}|=|E| \\\\==> |A||A^{-1}|=|E|=1\\\\ ==> |A|\\neq 0 ∣AA−1∣=∣E∣==>∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1==>∣A∣=0
定理2
内容
若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq 0 ∣A∣=0，则矩阵 A A A可逆，且 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗，其中 A ∗ A^* A∗为 A A A的伴随矩阵
证明
已知 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA∗=∣A∣E （|A|是一个常数）
因为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq 0 ∣A∣=0
所以 1 ∣ A ∣ A A ∗ = A 1 ∣ A ∣ A ∗ = A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) = E \\frac{1}{|A|}AA^*=A\\frac{1}{|A|}A^*=A(\\frac{1}{|A|}A^*)=E ∣A∣1AA∗=A∣A∣1A∗=A(∣A∣1A∗)=E
又因为 A ∗ A = A A ∗ A^*A=AA^* A∗A=AA∗
所以 1 ∣ A ∣ A A ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∗ A = ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A = E \\frac{1}{|A|}AA^*=\\frac{1}{|A|}A^*A=(\\frac{1}{|A|}A^*)A=E ∣A∣1AA∗=∣A∣1A∗A=(∣A∣1A∗)A=E
由
{ A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) = E ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A = E \\begin{cases} A(\\frac{1}{|A|}A^*)=E \\\\ (\\frac{1}{|A|}A^*)A=E \\end{cases} {A(∣A∣1A∗)=E(∣A∣1A∗)A=E
得知 矩阵A存在逆矩阵，
且 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗
证明完成！
推论
若 A B = E （ 或 B A = E AB=E（或BA=E AB=E（或BA=E，则 B = A − 1 B=A^{-1} B=A−1
证明：
因为 A B = E AB=E AB=E
所以 ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ E ∣ = 1 |A||B|=|E|=1 ∣A∣∣B∣=∣E∣=1
故 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\\neq0 ∣A∣=0， A − 1 A^{-1} A−1存在
B = E B = ( A − 1 A ) B = A − 1 ( A B ) = A − 1 E = A − 1 B=EB=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}E=A^{-1} B=以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数：逆矩阵的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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