乱序版 ● 剑指offer每日算法题打卡题解——动态规划（题号10,63）

Posted 2021-10-05 寂静花开

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了乱序版 ● 剑指offer每日算法题打卡题解——动态规划（题号10,63）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

打卡day6

第一题：剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2 输出：1

示例 2：
输入：n = 5 输出：5

提示：

0 <= n <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof

解题思路：
以斐波那契数列性质 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)为转移方程。

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：
(1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
（3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

java代码：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        int[] dp = new int[n + 1];//新建一个一维数组的dp
        //初始化前两个数
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;//斐波那契数列的第一个数是1
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];//根据题中给的方程F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)
            dp[i] %= 1000000007;//答案需要取模 1e9+7（1000000007）
        }
        return dp[n];
    }
}

第二题：剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

0 <= n <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof

解题思路：
这回没给方程，要自己写一下。（莫名感觉像小时候学的小学奥数￣へ￣）
设跳上n级台阶，会有f(n)种方法。然而，小青蛙的最后一步只会有两种情况：跳1级或者跳2级
所以分成两种情况：

最后剩1级：前面一共跳了n-1级，有f(n-1)种跳法。
最后剩2级：前面一共跳了n-2级，有f(n-2)种跳法。

此时，f(n)=f(n−1)+f(n−2)，就是第一题的斐波那契数列，区别是起始数字不同。

java代码：

public class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];//建一维数组dp
        //定义初始的两个值
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = (dp[i - 2] + dp[i - 1]) % 1000_000_007;//转移方程
        }
        return dp[n];
    }
}

第三题：剑指 Offer 63. 股票的最大利润

假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 =6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

限制：

0 <= 数组长度 <= 10^5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/gu-piao-de-zui-da-li-run-lcof

解题思路：
依旧需要列方程。
设一共有n天，第a天买，第b天卖，且a<b
所以，股票买卖的方案数为 (n−1)+(n−2)+⋯+2+1=n(n−1)/2

java代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length < 2) return 0; // 没有卖出的可能性
        // 定义状态，第i天卖出的最大收益
        int[] dp = new int[prices.length];
        dp[0] = 0;  // 初始边界
        int cost = prices[0]; // 成本
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], prices[i] - cost);
            // 选择较小的成本买入
            cost = Math.min(cost, prices[i]);
        }

        return dp[prices.length - 1];

    }
 }