Educational Codeforces Round 49 E. Inverse Coloring(思维,差分,dp)

Posted 2021-10-03 issue是fw

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题意

给出一个$n\ast n$的矩阵，要求在每个位置涂上黑/白色，要求满足：

任意相邻的两行，其颜色要么完全相同，要么完全相反。

任意相邻的两列，其颜色也要么相同要么完全相反。

且这个矩形中，不存在任意一个大小大于等于k的同色矩形。

求方案数

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第一个比较有技巧的点是一个矩形确定了第一行第一列的颜色后,整个矩形的颜色就被确定了

现在考虑怎样来判断是否存在大于等于$k$的同色矩形，我们只需要找到最大的那个是否小于$k$即可

我们先计算第一行最大连续同色段长为$x$,第一列为$y$

那么$x\ast y<k$就满足条件(对应的子矩阵一定最大且同色)

因为第一行和第一列有公共位置,不妨先假设这个位置是白色,之后把答案乘以$2$即可

于是问题转化为,若能计算数组$f[i][j]$表示长度为$i$最长同色段为$j$的方案数

显然第一行和第一列的方案数都可以用这个数组来描述

答案即为

$\sum _{i\ast j<k}(f[n][i]\ast f[n][j][)$

不过似乎这个并不好快速转移,我们先定义$dp[i][j]$表示前$i$个格子最大连续段不超过$j$的方案

于是我们每次去枚举一整段颜色相同的段即可,转移方程为

$dp[i][j]+==dp[i-z][j](z<=\min (i,j))$

初始化$dp[0][i]=1$

那么显然$f[n][i]=dp[n][i]-dp[n][i-1]$

问题得到解.

一开始我还在纠结,第一行和第一列其实是有一个公共点的,那是这样直接乘起来不是没有考虑公共点吗?

其实不是的,因为我们枚举的是同色段,没有具体规定是那种颜色,所以是独立的,是正确的方案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
const int maxn = 509;
int t,n,k,f[501][501],ans[maxn];
signed main()
{
	cin >> n >> k;
	for(int i=1;i<=n;i++)	f[0][i] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	for(int k=1;k<=min(j,i);k++)
		f[i][j] = ( f[i][j]+f[i-k][j] )%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)	ans[i] = ( f[n][i]-f[n][i-1] )%mod;
	int res = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
		if( i*j<k )	res = ( res+ans[i]*ans[j]%mod )%mod;
	cout << ( res*2+mod )%mod;
}