❤️《画解数据结构》七张动图,画解单调队列❤️(建议收藏)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了❤️《画解数据结构》七张动图,画解单调队列❤️(建议收藏)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
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零、前言
「 数据结构 」 和 「 算法 」 是密不可分的,两者往往是「 相辅相成 」的存在,所以,在学习 「 数据结构 」 的过程中,不免会遇到各种「 算法 」。
数据结构 常用的操作一般为:「 增 」「 删 」「 改 」「 查 」。基本上所有的数据结构都是围绕这几个操作进行展开的。
那么这篇文章,作者将用 「 十张动图 」 来阐述一种 「 一端插入 」「 两端删除 」 的数据结构
「 单调队列 」
单调队列的操作浓缩为以下一张图:
看不懂没有关系,我会把它拆开来一个一个讲,首先来看一下今天要学习的内容目录。
一、滑动窗口
1、引例
【例题1】给定一个长度为 n ( n ≤ 1 0 5 ) n(n \\le 10^5) n(n≤105) 整数数组 a i a_i ai,有一个大小为 k ( k ≤ 1 0 5 ) k(k \\le 10^5) k(k≤105) 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。只能看到在滑动窗口内的 k k k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。返回 每个滑动窗口 的最大值。
2、暴力求解
看到这个问题,最简单的思路就是:枚举一个起点 s s s,然后记录区间 [ s , s + k − 1 ] [s, s + k-1] [s,s+k−1] 内的最大值。枚举起点的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n),记录区间最值的时间复杂度为 O ( k ) O(k) O(k),所以总的时间复杂度为 O ( n k ) O(nk) O(nk),对于这个问题的数据量,最大的数据量达到了 1 0 10 10^{10} 1010 量级,所以这个做法是行不通的。
3、区间最值
这个问题是个经典的区间最值问题,可以通过 ST表 (Sparse Table, 稀疏表) 求解,时间复杂度为 O ( n l o g 2 k ) O(nlog_2k) O(nlog2k),除了 ST表,还可以采用 线段树 求解区间最值,时间复杂度也为 O ( n l o g 2 k ) O(nlog_2k) O(nlog2k)。当然,这两块内容都不是本文讨论的重点,如果对 ST表 感兴趣,可以参考以下文章:夜深人静写算法(六)- RMQ。对线段树感兴趣,可以参考以下文章:夜深人静写算法(四十一)- 线段树。
4、容器抽象
本文将介绍一种
O
(
n
)
O(n)
O(n) 的算法。它将会用到一种数据结构 —— 单调队列。
在这个问题中,两个相邻的滑动窗口,实际上只相差两个元素,如下图所示:
假设,我们提供了一种容器,这个容器能够支持三种操作:
1)【询问】通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间,获取容器中元素的最大值。
2)【删除】通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间,删除元素;
3)【插入】通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间,插入元素;
那么,我们只要不断的移动滑动窗口,每一次移动,删除一个元素,插入另一个元素,并且记录下最大值,那么,每一次滑动,只需要三步
O
(
1
)
O(1)
O(1) 的操作。总共
n
n
n 次滑动,只需要
O
(
n
)
O(n)
O(n) 的时间复杂度就能解决这个问题。
这种容器存在吗?让我们首先简单了解一下 FIFO 队列 和 双端队列,如果你对 以上两种数据结构 已经 了如指掌,则可以跳过相关内容,直接观看 👉🏻单调队列👈🏻 部分。
二、FIFO 队列
1、FIFO 队列的概念
1)队列的定义
队列 是仅限在 一端 进行 插入,另一端 进行 删除 的 线性表。
队列 又被称为 先进先出 (First In First Out) 的线性表,简称 FIFO 队列。
2)队首
允许进行元素删除的一端称为 队首。如下图所示:
3)队尾
允许进行元素插入的一端称为 队尾。如下图所示:
2、FIFO 队列的接口
1)数据入队
队列的插入操作,叫做 入队。它是将 数据元素 从 队尾 进行插入的过程,如图所示,表示的是 插入 两个数据(绿色 和 蓝色)的过程:
2)数据出队
队列的删除操作,叫做 出队。它是将 队首 元素进行删除的过程,如图所示,表示的是 依次 删除 两个数据(红色 和 橙色)的过程:
3)清空队列
队列的清空操作,就是一直 出队,直到队列为空的过程,当 队首 和 队尾 重合时,就代表队尾为空了,如图所示:
4)获取队首数据
对于一个队列来说只能获取 队首 数据,一般不支持获取 其它数据。
5)获取队列元素个数
队列元素个数一般用一个额外变量存储,入队 时加一,出队 时减一。这样获取队列元素的时候就不需要遍历整个队列。通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间复杂度获取队列元素个数。
6)队列的判空
当队列元素个数为零时,就是一个 空队,空队 不允许 出队 操作。
3、队列的实现
队列的实现,可以参考以下这篇文章:❤️《画解数据结构》九张动图,画解队列❤️。
三、双端队列
1、双端队列的概念
1)双端队列的定义
双端队列 是一种具有 队列 和 栈 的性质的数据结构,是我们常说的 deque(double-ended queue),是一种限定 插入 和 删除 操作在表的两端进行的线性表。这两端分别被称为 队首 和 队尾。
2)队首
双端队列的一端被称为 队首,如下图所示:
3)队尾
双端队列的另一端被称为 队尾,如下图所示:
2、双端队列的接口
1)队首入队
队列的插入操作,叫做 入队。
队首入队 就是将 数据元素 从 队首 进行插入的过程。如图所示,表示的是在队首 插入 一个蓝色数据的过程:
2)队尾入队
队尾入队 就是将 数据元素 从 队尾 进行插入的过程。如图所示,表示的是在队尾 插入 一个紫色数据的过程:
3)队首出队
队列的删除操作,叫做 出队。
队首出队 是将 队首 元素进行删除的过程,如图所示,表示的是在队首 删除 一个蓝色数据的过程:
4)队尾出队
队尾出队 是将 队尾 元素进行删除的过程,如图所示,表示的是在队尾 删除 一个紫色数据的过程:
5)清空队列
队列的清空操作,就是一直 出队,直到队列为空的过程,当 队首 和 队尾 正好错开一个位置时,就代表队尾为空了,如图所示,细心的读者会发现,队尾 和 队首 错开了一个位置:
6)获取队列元素个数
队列元素个数一般用一个额外变量存储,入队 时加一,出队 时减一。这样获取队列元素的时候就不需要遍历整个队列。通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间复杂度获取队列元素个数。
7)队列判空
当队列元素个数为零时,就是一个 空队,空队 不允许 出队 操作。
8)获取队首元素
队首指针 指向的数据被称为 队首元素,可以通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间复杂度来获取。
9)获取队尾元素
队尾指针 指向的数据被称为 队尾元素,可以通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间复杂度来获取。
3、双端队列的实现
需要了解双端队列的实现,可以参考如下文章:❤️《画解数据结构》十张动图,画解双端队列❤️
四、单调队列
单调队列 就是能够完美支持下面三种操作的一种容器:
1)【询问】通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间,获取容器中元素的最大值。
2)【删除】通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间,删除元素;
3)【插入】通过 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间,插入元素;
1、定义
单调队列是一个限制只能 队尾插入,但是可以 两端删除 的 双端队列 。单调队列 存储的元素值,是从 队首 到 队尾 呈单调性的(要么单调递增,要么单调递减)。
对于求解最大值的问题,则需要维护一个 单调递减 的队列。
如图所示,⑨ 为原先的 队首元素,执行 队首删除(出队) 操作以后,⑥ 成为新的 队首元素;而在队尾执行插入④这个元素的时候,为了保持单调性,需要将①②依次从队尾删除;当队尾执行插入②这个元素的时候,满足单调性。
2、询问
由于单调队列是单调递减的,所以队首元素 最大,直接 O ( 1 ) O(1) O(1) 获取队首元素。
如图所示,head 指向 队首元素,直接获取,由于这是一个单调递减队列,所以得到的,就是最大值。
3、删除
删除分为 队首删除 和 队尾删除。
队首删除即直接队首元素出队,
O
(
1
)
O(1)
O(1) 即可完成操作。如图所示:
队尾删除 一般是配合 队尾插入 进行的。我们接着往下看。
4、插入
在进行 队尾插入 的时候,我们往往需要明白一个重要的点,就是需要保证它 单调递减 的性质,所以如果 队尾元素
≤
\\le
≤ 插入元素 ,则当前的 队尾元素 是需要执行删除操作的(也就是上文提到的 队尾删除),直到满足 队尾元素
>
\\gt
> 插入元素,才能真正执行 插入 操作。
这样才能保证,执行 队尾插入 后,单调队列仍然是 单调递减 的。插入过程,虽然伴随着元素的删除,但是每个元素至多被 插入一次 和 删除一次,所以均摊时间复杂度还是
O
(
1
)
O(1)
O(1) 的。
如图所示,在队尾执行插入④这个元素的时候,为了保持单调性,需要将①②依次从队尾删除;当队尾执行插入②这个元素的时候,满足单调性,所以直接执行插入操作。
5、性质
1)保序性
由于单调队列执行插入的时候,一定是从队尾进行插入,所以单调队列中的数据,从队首到队尾的顺序,一定是和原序列严格保序的;
2)下标存储
为了让单调队列的数据足够干净,在单调队列中,一般存储 原序列的下标 即可,而不需要存储原序列的值,根据保序性,存储的下标一定是单调递增的;
3)单调性
单调队列中的元素是 原序列的下标,对应到原序列时,根据求解问题的不同,当需要求最大值时,它是单调递减的;当需要求最小值时,它是单调递增的;
五、单调队列的应用
1、最值问题
1)问题描述
继续回到上文提到的滑动窗口中的最大值问题。
【例题1】给定一个长度为 n ( n ≤ 1 0 5 ) n(n \\le 10^5) n(n≤105) 整数数组 A i A_i Ai,有一个大小为 k ( k ≤ 1 0 5 ) k(k \\le 10^5) k(k≤105) 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。只能看到在滑动窗口内的 k k k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。返回滑动窗口中的最大值。
2)思路分析
我们要实现的,就是把原序列
A
A
A 中的元素逐个执行单调队列的 插入 操作。当 插入 的原序列的下标为
i
i
i 时,期望是单调队列中的元素从 队首 到 队尾 都在原序列的区间
(
i
−
k
,
i
]
(i-k, i]
(i−k,i] 范围内(也就是以
i
i
i 为右端点,长度为
k
k
k 的区间内),且对应到原序列的值单调递减,这样每次插入完毕,就可以在
O
(
1
)
O(1)
O(1) 的时间内,从队首获取到最大值(即区间
(
i
−
k
,
i
]
(i-k, i]
(i−k,i] 内的最大值)。
为什么是单调递减?而不是单调递增?
对于每个需要插入的下标
i
i
i,队尾的元素为原序列的下标
j
j
j,则根据保序性,一定能够满足
j
<
i
j \\lt i
j<i,如果对应到原序列中,满足
A
j
≤
A
i
A_j \\le A_i
Aj≤Ai,那么
A
j
A_j
Aj 不会比
A
i
A_i
Ai 更优,原因是:对于区间
(
i
−
k
,
i
]
(i-k, i]
(i−k,i] 来说,
A
i
A_i
Ai 一定在区间内,而
A
j
A_j
Aj 则未必,也就是说 下标
j
j
j 没必要存储到单调队列中。于是对于单调队列中的存储的元素
i
1
<
i
2
<
.
.
.
<
i
n
i_1 < i_2 < ... < i_n
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