逆序对数列（简单dp）

Posted 2021-10-03 H-w-H

P2513 [HAOI2009]逆序对数列

题意：

给出一个长度为$n$的排列，问有多少种排列方式的逆序对为k。

思路：

$dp[i][j]$表示长度为i的排列，逆序对为$j$的方案数。

对于一个长度为$i$的排列，将$i+1$插入到排列中有$i+1$种插入方法，最多能够多出$i$个逆序对，所以可以得到转移方程

$$dp[i][j]=\sum _{k=0}^{min(i-1,\frac{i(i-1)}{2})}dp[i-1][j-k]$$

用前缀和优化一下。

$Code$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e3+10;
const int mod = 1e4;
int dp[N][N];

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    dp[1][0] = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        int tmp = (i-1)*i/2, len = min(m, tmp), sum = 0;
        for(int j=0; j<=len; j++) {
            sum = (sum + dp[i-1][j]) % mod;
            dp[i][j] = sum;
            if(j >= i-1) sum = ((sum - dp[i-1][j-i+1]) % mod + mod) % mod;
        }
    }
    cout << dp[n][m] << endl;
}