LeetCode通关：连刷十四题，回溯算法完全攻略

Posted 2021-10-02 三分恶

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了LeetCode通关：连刷十四题，回溯算法完全攻略相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

刷题路线：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master

大家好，我是被算法题虐到泪流满面的老三，只能靠发发文章给自己打气！

这一节，我们来看看回溯算法。

回溯算法理论基础

什么是回溯

在二叉树的路径问题里，其实我们已经接触到了回溯这种算法。

例如我们在查找二叉树所有路径的时候，查找完一个路径之后，还需要回退，接着找下一个路径。

回溯其实可以说是我们熟悉的DFS，本质上是一种暴力穷举算法，把所有的可能都列举出来，所以回溯并不高效。

这个可能比较抽象，我们举一个例子吧，[1,2,3]三个数可以构成多少种组合呢？

我们的办法就是把所有结果都穷举出来，那怎么穷举呢？可以第一位选1，第二位从[2,3]里选2，第三位从[3]里选3；第二个组合可以第一位选2……

我们把这个选择抽象成一棵树，初步有个印象，这是全排列的问题，后面会刷到。

回溯算法模板

回溯算法，可以看作一个树的遍历过程，建议可以去看一下N叉树的遍历，和这个非常类似。

递归有三要素，类似的，回溯同样需要关注三要素：

返回值和参数

回溯算法中函数返回值一般为void。

回溯方法的参数得结合实际问题，但是一般需要一个类似栈的结构来存储每个路径（结果），因为我们一次递归结束之后，节点要回溯到上一个位置。

回溯方法伪代码如下：

void backtrack(参数)

回溯函数终止条件

和递归一样，回溯同样也要有结束条件。

什么时候达到了终止条件，从树的角度来讲，一般来说搜到叶子节点了，对回溯而言，就是找到了满足条件的一个结果。

所以回溯函数终止条件伪代码如下：

if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}

回溯搜索的遍历过程

回溯法一般是在一个序列里做选择，序列的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

回溯函数遍历过程伪代码如下：

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}

for循环就是遍历序列，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。可以理解为横向的遍历。

backtrack就是自己调用自己，可以理解为纵向的遍历。

同时递归之后，我们还要撤销之前做的选择。

所以回溯算法模板框架如下：

void backtrack(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtrack(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

回溯能解决哪些问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

可能到这对回溯还比较迷茫，没有关系，回溯是比较套路化的一种算法，多做几道题就明白了。

组合问题

LeetCode77. 组合

☕ 题目：77. 组合 (https://leetcode-cn.com/problems/combinations/)

❓ 难度：中等

📕 描述：

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

💡 思路：

这道题是回溯算法的经典题目。

我们来看一下这道题的抽象树形结构：

按照我们的回溯模板，看看这道题应该怎么写：

返回值、参数

首先方法里是一定要区间的数据，[start，n]。

计数的k也不可缺少。

最后的结果集合result，还有每条路径的结果path，可以定义全局变量，来提升可读性。

终止条件

什么时候终止，就是什么时候到叶子节点了呢？结果parh的大小等于k，说明到了叶子节点，一次递归结束。

单层逻辑

在单层逻辑里面，我们要做两件事：

遍历序列
递归，遍历节点

🖊 代码：

class Solution {
    //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //符合条件的结果
    LinkedList<Integer> path;

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backstack(n, k, 1);
        return result;
    }

    //回溯
    public void backstack(int n, int k, int start) {
        //结束条件
        if (path.size() == k) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i <= n; i++) {
            path.addLast(i);
            //递归
            backstack(n, k, i + 1);
            //回溯,撤销已经处理的节点
            path.removeLast();
        }
    }
}

⚡ 剪枝优化

回溯中，提高性能的一大妙招就是剪枝。

剪枝见名知义，就是在把我们的树的一些树枝给它剪掉。

例如n = 4，k = 4，

我们可以看到，有些路径，其实一定是不满足我们的要求，如果我们把这些不可能的路径剪断，那我们不就可以少遍历一些节点吗？

所以我们看看这道题怎么来剪这个枝：

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索。

已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
所以起始位置 : n - (k - path.size()) + 1之后的肯定不符合要求

所以优化之后的代码如下：

class Solution{
      //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //符合条件的结果
    LinkedList<Integer> path;

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backstack(n, k, 1);
        return result;
    }

    //回溯
    public void backstack(int n, int k, int start) {
        //结束条件
        if (path.size() == k) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i <= n-(k-path.size())+1; i++) {
            path.addLast(i);
            //递归
            backstack(n, k, i + 1);
            //回溯,撤销已经处理的节点
            path.removeLast();
        }
    }
}

LeetCode216. 组合总和 III

☕ 题目：77. 组合 (https://leetcode-cn.com/problems/combinations/)

❓ 难度：中等

📕 描述：

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

💡 思路：

我们先把这道题抽象成树：

接着套模板。

终止条件

到叶子节点（path大小等于k）终止。

返回值，参数

参数稍微有变化，序列是固定的，这里的n是目标和；需要一个参数pathSum来记录路径上的数总和，我们直接全局变量。

单层逻辑

逻辑差别不大，回溯的时候需要把pathSum也回溯一下。

🖊 代码：

class Solution {
   //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //结果
    LinkedList<Integer> path;
    //结果综合
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backtrack(n, k, 1);
        return result;
    }
    
    //回溯
    public void backtrack(int n, int k, int start) {
        //结束
        if (path.size() == k) {
            if (pathSum == n) {
                result.add(new LinkedList<>(path));
            }
            return;
        }
        //遍历序列
        for (int i = start; i <= 9; i++) {
            path.push(i);
            pathSum += i;
            //递归
            backtrack(n, k, i + 1);
            //回溯，撤销操作
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

⚡ 剪枝优化

同样也可以进行剪枝优化，也很好想，如果pathNum>n ，那就没必要再遍历了。

class Solution {
   //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //结果
    LinkedList<Integer> path;
    //结果综合
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        backtrack(n, k, 1);
        return result;
    }
    
    //回溯
    public void backtrack(int n, int k, int start) {
        //剪枝优化
        if (pathSum > n) {
            return;
        }
        //结束
        if (path.size() == k) {
            if (pathSum == n) {
                result.add(new LinkedList<>(path));
            }
            return;
        }
        //遍历序列
        for (int i = start; i <= 9; i++) {
            path.push(i);
            pathSum += i;
            //递归
            backtrack(n, k, i + 1);
            //回溯，撤销操作
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

LeetCode39. 组合总和

☕ 题目：39. 组合总和 (https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/)

❓ 难度：中等

📕 描述：

给定一个无重复元素的正整数数组 candidates 和一个正整数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为目标数 target 的唯一组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。如果至少一个所选数字数量不同，则两种组合是唯一的。

对于给定的输入，保证和为 target 的唯一组合数少于 150 个。

示例 1：

输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出: [[7],[2,2,3]]

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

示例 4：

输入: candidates = [1], target = 1
输出: [[1]]

示例 5：

输入: candidates = [1], target = 2
输出: [[1,1]]

提示：

1 <= candidates.length <= 30
1 <= candidates[i] <= 200
candidate 中的每个元素都是独一无二的。
1 <= target <= 500

💡 思路：

这道题和我们上面的有什么区别呢？

它没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制。

这里有两个关键点：

元素可以重复使用
组合不可重复

我们看看如何通过回溯三要素来carry：

返回值&参数

参数里需要start标明起点，为什么呢？因为要求组合不重复，所以需要限制下次搜索的起点，是基于本次选择，这样就不会选到本次选择同层左边的数。

终止条件

这道题没有限制数的个数，所以我们要根据pathSum>target（当前组合不满足）和pathSum==target（当前组合满足）来终止递归。

单层逻辑

单层仍然从start开始，搜索 candidates。

🖊 代码：

class Solution {
   //结果结合
    List<List<Integer>> result;
    //结果路径
    LinkedList<Integer> path;
    //结果路径值的和
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        pathSum = 0;
        backtrack(candidates, target, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) {
        //终止条件
        if (pathSum > target) return;
        if (pathSum == target) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
        }
        for (int i = start; i < candidates.length; i++) {
            pathSum += candidates[i];
            path.push(candidates[i]);
            //注意，i不用加1，表示当前数可以重复读取
            backtrack(candidates, target, i);
            //回溯
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

⚡ 剪枝优化

又到了剪枝优化时间，在本层循环，如果发现下一层的pathSum（本层pathSum+candidates[i]）,那么就可以结束本层循环，注意要先把candidates拍一下序。

class Solution {
    //结果结合
    List<List<Integer>> result;
    //结果路径
    LinkedList<Integer> path;
    //结果路径值的和
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        pathSum = 0;
        //剪枝优化，先排序
        Arrays.sort(candidates);
        backtrack(candidates, target, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) {
        //终止条件
        if (pathSum > target) return;
        if (pathSum == target) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
        }
       //剪枝优化，判断循环之后的pathSum是否会超过target
        for (int i = start; i < candidates.length && pathSum + candidates[i] <= target; i++) {
            pathSum += candidates[i];
            path.push(candidates[i]);
            //注意，i不用加1，表示当前数可以重复读取
            backtrack(candidates, target, i);
            //回溯
            pathSum -= path.pop();
        }
    }
}

LeetCode40. 组合总和 II

☕ 题目：40. 组合总和 II (https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/)

❓ 难度：中等

📕 描述：

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

注意：解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]

提示:

1 <= candidates.length <= 100
1 <= candidates[i] <= 50
1 <= target <= 30

💡 思路：

这道题和上一道题有啥区别呢？

candidates里每个数字在每个组合里只能使用一次
candidates里的元素是有重复的

所以这道题的关键在于：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。

关于这个去重，有什么思路呢？

利用HashSet的特性去重，但是容易超时
还有一种办法，先把数组排序[1,3,1] --> [1,1,3]，我们比较一下相邻的元素，重复的就跳过

我们把模拟树画一下：

三要素走起：

返回值&参数

和上一道基本一致。

终止条件
- pathSum>target和pathSum==target。
- 我们这次直接剪枝，提前判断下次pathSum是否大于target，所以pathSum>target可以省略

🖊 代码：

class Solution {
      //结果集合
    List<List<Integer>> result;
    //结果路径
    LinkedList<Integer> path;
    //结果路径值总和
    int pathSum;

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        //排序condidates，去重前提
        Arrays.sort(candidates);
        //初始化相关变量
        result = new ArrayList<>();
        path = new LinkedList<>();
        pathSum = 0;
        backtrack(candidates, target, 0);
        return result;
    }

    public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) {
        //终止条件
        if (pathSum == target) {
            result.add(new LinkedList<>(path));
            return;
        }
        //剪枝操作
        for (int i = start; i < candidates.length && candidates[i] + pathSum <= target; i++) {
            //同一层使用过的元素跳过
            if (i > start && candidates[i] == candidates[i - 1]) {
                continue;
            }
            pathSum += candidates[i];
            path.push(candidates[i]);
            //每个数字在每个组合中只能用一次，所以i++
            backtrack(candidates, target, i + 1);
            //回溯
            pathSum -= path.pop();
        }
    }以上是关于LeetCode通关：连刷十四题，回溯算法完全攻略的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 
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