CF785D Anton and School - 2

Posted 2021-10-02 Jozky86

CF785D Anton and School - 2

题意：

给定一个长度≤2×10^5由(和)组成的字符串，问有多少个子串（可以不连续），前半部分是由(组成后半部分由)组成.

题解：

怎么括号匹配能出这么多题
如何才能不重不漏的选出所有括号呢？

枚举每个位置的i时，我们通过i左括号数量和右括号的数量，可以算出当i为最后一个左括号时满足条件的子序列数量。这样统计括号数量不会重，不会漏。(第i位是右括号的情况都会被包含其中，不会漏)

我们设左边有a个左括号(包括自己)，右边有b个右括号，满足条件的字串有：$$C_{a-1}^0{C}_b^1+C_{a-1}^1{C}_b^2+...+C_{a-1}^x{C}_b^{x+1}+...=\sum _{i=0}^{min(a-1,b-1)}{C}_{a-1}^x{C}_b^{x+1}$$
从左侧a-1个左括号中选x个，还有第i位本身这个左括号，再从右侧b个右括号中选x+1个，组成一个合法的括号序列
然后怎么做？
暑假多校的时候学到一个东西：范德蒙德卷积，我经常当做组合数的定理来记。
$$\sum _{i=0}^k{C}_n^i{C}_m^{k-i}=C_{n+m}^k$$
严谨的证明，可以用二项式定理证得,具体证明我也不知道，不过其中的含义挺好理解，在n物品中取i个，m个物品中k-i个，就是在n+m个物品中取k个
回到本题上：
我们现在有${\sum }_{i=0}^{min(a-1,b-1)}{C}_{a-1}^x{C}_b^{x+1}={\sum }_{i=0}^{min(a-1,b-1)}{C}_{a-1}^{a-1-x}{C}_b^{x+1}=C_{a+b-1}^a$
这一下子不久好做多了，然后从第一位开始枚举，如果是左括号就计算这个组合数，记录答案

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    startTime= clock();
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 2e5 + 9;
const int mod= 1e9 + 7;
ll poww(ll a, ll b)
{
    ll ans= 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans= ans * a % mod;
        a= a * a % mod;
        b>>= 1;
    }
    return ans % mod;
}
ll fac[maxn], inv[maxn];
void init(int N)
{
    fac[1]= 1;
    for (int i= 2; i <= N; i++) {
        fac[i]= (fac[i - 1] * i) % mod;
    }
    inv[N]= poww(fac[N], mod - 2) % mod;
    // cout << inv[N] << endl;
    for (int i= N - 1; i >= 0; i--) {
        inv[i]= inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
}
int R[maxn];
ll C(ll a, ll b)
{
    if (a < b || a < 0 || b < 0)
        return 0;
    // cout << "=" << (fac[a] % mod * (inv[b] %'' mod)) % mod * (inv[a - b] % mod) % mod << endl;
    return (fac[a] % mod * (inv[b] % mod)) % mod * (inv[a - b] % mod) % mod;
}
int main()
{
    //rd_test();
    init(200000);
    string s;
    cin >> s;
    int len= s.length();
    for (int i= len - 1; i >= 0; i--) {
        R[i]= R[i + 1] + ((s[i] == ')') ? 1 : 0);
        // cout << R[i] << endl;
    }
    int sum= 0;
    int tot= 0;
    for (int i= 0; i < s.length(); i++) {
        if (s[i] == '(') {
            tot++;
            sum= (sum + C(tot + R[i] - 1, R[i] - 1) + mod) % mod;
        }
    }
    cout << sum;
    //Time_test();
}