2021-2022-1 ACM集训队每周程序设计竞赛 - 问题 D: 跑图 - 题解

Posted 2021-09-30 Tisfy

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    • 样例一
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• 题目分析
• AC代码

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跑图

• 分割
• 求和
• 不论你距我多远，哪怕刀山火海我愿为你走天下
• 跑图

时间限制：2秒
空间限制：256M

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题目描述

小T给你了一个$N$点$M$边的无向带权连通简单图（无向、带权、连通、无自环、无重边）

其中第$i(1\le i\le M)$条边连接点$a_i$和$b_i$，权重是$c_i$

输出不属于任意两点的最短路径的边的条数。

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输入描述

• $2\le N\le 100$
• $N-1\le M\le min(\frac{N(N-1)}{2},1000)$
• $1\le a_i,b_i\le N$
• $1\le c_i\le 1000$
• $c_i$ 是整数
• 给定的图没有自环也没有重边
• 给定的图是连通图
  ​

输入的格式是：

N M
a1 b1 c1
a2 b2 c2
...
am bm cm

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输出描述

输出不属于任意两点的最短路径的边的条数。
即：如果点$a$和点$b$的最短路径经过了边$c$，那么$c$不是答案中的一条。

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样例一

输入

3 3
1 2 1
1 3 1
2 3 3

输出

1

提示

• 从点$1$到点$2$，最短路径是$1\to 2$，权重为$1$
• 从点$2$到点$3$，最短路径是$2\to 3$，权重为$1$
• 从点$3$到点$1$，最短路径是$3\to 2\to 1$，权重为$2$

所以第$3$条边（连接点$1$和点$3$，权重是$3$）不属于上面任何两点之间的最短路径，因此答案是$1$（条）。

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题目分析

这题其实是弗洛伊德算法，我们可以算出来任意两点之间的最短路径，遍历给定的每一条边，如果这条边连接的两点的最短距离小于这条边的权重，那么这条边一定不是某个最短路径的一部分（有权重更短的边），累加到结果中即可。

简单描述一下弗洛伊德算法：

定义$P(i,j,k)$为：从$v_i$到$v_j$，由序号不大于$k$的顶点为中间点（或直达）可构成的最短路径。
那么递推公式为$P(i,j,k)=min(P(i,k,k-1)+P(k,j,k-1),P(i,j,k-1))$

其实我们可以省去一维的空间，用$a[i][j]$代表从$i$到$j$的最短路径。那么如何体现“序号不大于$k$”呢，只需要第一层循环令$k$从$1$到$n$递增即可。
那么递推公式：$a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j])$

具体讲解可参考我们班主任特特彭老师的教案，_{真叫一个完美}

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0x3f3f3f3f, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
int a[111][111];
struct edge
{
    int x,y,val;
    edge(int a,int b,int c){x=a,y=b,val=c;}
    edge(){}
};
edge path[1010];
int main()
{
    mem(a); // 初始值是“无穷大”
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    fi(i,0,m) // for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int x,y,val;
        cd(x),cd(y),cd(val); // scanf
        a[x][y]=a[y][x]=val;
        path[i]=edge(x,y,val); // 记录下每一条边
    }
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(i==j||i==k||j==k);
                else a[i][j]=min(a[i][j], a[i][k]+a[k][j]);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++) // 遍历Tisfy给定的每一条边
    {
        if(a[path[i].x][path[i].y]<path[i].val) // 如果这条边连接的两点的最短路径小于这条边
            ans++; // 那么就说明这条边不在最短路径上
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

原创不易，转载请附上原文链接哦~
Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/120227579