机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数：n阶行列式对换

Posted 2021-09-29 海轰Pro

文章目录

• 前言
• 1.3 n阶行列式
• 1.4 对换
• • 1.4.1 排列的对换
  • • 概念
    • 定理1
    • • 内容
      • 证明
    • 推论
  • 1.4.2 行列式的另一种表示方法
  • • 定理2
    • • 内容
      • 证明
• 结语

前言

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标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
 
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！

1.3 n阶行列式

三阶行列式为：

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\ast a_{22}\ast a_{33}+a_{12}\ast a_{23}\ast a_{31}+a_{13}\ast a_{21}\ast a_{32}-a_{11}\ast a_{23}\ast a_{32}-a_{12}\ast a_{21}\ast a_{33}-a_{13}\ast a_{22}\ast a_{31}$$

从中我们可以发现规律：

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}{a}_{3p_3}$$

其中t为排列$p_1{p}_2{p}_3$的逆序数

进而推出n阶行列式：

∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 . . . a n p n \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\\\ . & . & & . \\\\ . & . & & . \\\\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\\\ \\end{vmatrix}=\\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​..an1​​a12​a22​以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数：n阶行列式对换的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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