用线性规划解决配方问题

Posted 2021-09-28 bkzy

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了用线性规划解决配方问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

练习使用线性规划算法包解决猫粮配方的问题。

问题

某猫粮生产商生产猫粮时使用鸡肉、牛肉、羊肉、大米、小麦麦麸和凝胶作为原材料。这些原材料的营养成分的含量和价格如表所示。

物品	蛋白质	脂肪	纤维	盐	单价
鸡肉 Chicken	0.1	0.08	0.001	0.002	0.013
牛肉Beef	0.2	0.1	0.005	0.005	0.008
羊肉Mutton	0.15	0.11	0.003	0.007	0.01
大米Rice	0	0.01	0.1	0.002	0.002
麦麸Wheat bran	0.04	0.01	0.15	0.008	0.005
凝胶Gel	0	0	0	0	0.001
成品要求(克/百克)	>=8	>=6	<=2	<=0.4

成分单位: g/g
单价单位: 美元/g
成品中成分单位: g/100g

问：每100克产品中应如何配比原材料，才能在满足产品营养成分的情况下做到成本最小化?

下面练习使用线性规划pulp算法包解决此问题。

安装算法包

pulp源码地址:https://github.com/coin-or/pulp
pulp文档地址:https://coin-or.github.io/pulp/

pip install pulp

简化解题示例

假设只想用两种原料制作猫粮：鸡肉和牛肉

# 导入算法包
import pulp as pl

创建问题

使用LpProblem函数创建问题. LpProblem有两个参数:
1. 第一个参数为问题的名称，可以是任意字符串
2. 第二个参数为 LpMinimize（默认值）或者 LpMaximize

# 创建问题
prob=pl.LpProblem("猫粮配方问题",pl.LpMinimize)

创建变量

使用LpVariable函数创建变量。LpVariable有四个参数:
1. name:输出时使用的变量名,任意字符串
2. lowBound:变量下限,默认None
3. upBound:变量上限,默认None
4. cat:数据的属性，实质上是数据的类型(离散或者连续)，可选:“pl.LpInterger”、“pl.LpBinary"或者"pl.LpContinuous”（默认）

# 创建变量
# 鸡肉百分比，最小值为0，最大值不限
x1=pl.LpVariable("鸡肉百分比",0,None)
# 牛肉百分比，最小值为0，最大值不限
x2=pl.LpVariable("牛肉百分比",0,None)

建立目标函数

目标函数结尾有一个逗号,,其后是一个简短的字符串来解释这个目标函数是干什么的

# 建立目标函数
prob+=0.013 * x1 + 0.008 * x2, "每罐产品的总成本"

建立约束

定义变量的时候已经包含了任意的非负约束
这再次使用“+=”运算符完成，因为我们正在向prob变量添加更多数据。在此之后按逻辑输入约束，在约束方程的末尾加上一个逗号，并简要描述该约束的原因

# 5个约束条件需要输入
prob += x1 + x2 ==100,"每罐猫粮100克"
prob += 0.100 * x1 + 0.200 * x2 >= 8.0,"每100克猫粮的蛋白质含量必须不小于8克"
prob += 0.080 * x1 + 0.100 * x2 >= 6.0,"每100克猫粮的脂肪含量必须不小于6克"
prob += 0.001 * x1 + 0.005 * x2 <= 2.0,"每100克猫粮的纤维含量必须不大于2克"
prob += 0.002 * x1 + 0.005 * x2 <= 0.4,"每100克猫粮的食盐含量必须不大于0.4克"

解决问题

使用solve()函数计算问题
solve()可以输入求解器参数。
solve()的返回值为解决问题的状态，{0: ‘Not Solved[未解决]’, 1: ‘Optimal[最佳]’, -1: ‘Infeasible[不可行]’, -2: ‘Unbounded[无界]’, -3: ‘Undefined[未定义]’}
状态值保存在.status变量中
通过LpStatus查看状态的文字描述
定义的x1、x2等变量的值保存在.variables()中

# 解决问题
prob.solve()
print("状态:",pl.LpStatus[prob.status])
"""
打印输出为:
状态: Optimal
"""
# 输出变量值
for v in prob.variables():
    print(v.name,"=",v.varValue)
"""
打印输出为:
牛肉百分比 = 66.666667
鸡肉百分比 = 33.333333
"""
# 输出结果
print("每百克成品的成本价 = ",pl.value(prob.objective))
"""
打印输出为：
每百克成品的成本价 =  0.966666665
"""

完整的程序

# 导入算法包
import pulp as pl
# 创建问题
prob=pl.LpProblem("猫粮配方问题",pl.LpMinimize)
# 创建变量
# 鸡肉百分比，最小值为0，最大值不限
x1=pl.LpVariable("鸡肉百分比",0,None)
# 牛肉百分比，最小值为0，最大值不限
x2=pl.LpVariable("牛肉百分比",0,None)

# 建立目标函数
prob+=0.013 * x1 + 0.008 * x2, "每罐产品的总成本"

# 建立约束
# 5个约束条件需要输入
prob += x1 + x2 ==100,"每罐猫粮100克"
prob += 0.100 * x1 + 0.200 * x2 >= 8.0,"每100克猫粮的蛋白质含量必须不小于8克"
prob += 0.080 * x1 + 0.100 * x2 >= 6.0,"每100克猫粮的脂肪含量必须不小于6克"
prob += 0.001 * x1 + 0.005 * x2 <= 2.0,"每100克猫粮的纤维含量必须不大于2克"
prob += 0.002 * x1 + 0.005 * x2 <= 0.4,"每100克猫粮的食盐含量必须不大于0.4克"

# 解决问题
prob.solve()
print("状态:",pl.LpStatus[prob.status])

# 输出变量值
for v in prob.variables():
    print(v.name,"=",v.varValue)

# 输出结果
print("每百克成品的成本价 = ",pl.value(prob.objective))

完整解题程序示例

import pulp as pl

# 创建原料表
Ingredients = ["CHICKEN", "BEEF", "MUTTON", "RICE", "WHEAT", "GEL"]

# 原材料成本单价(美元/克)
costs = {
    "CHICKEN": 0.013,
    "BEEF": 0.008,
    "MUTTON": 0.010,
    "RICE": 0.002,
    "WHEAT": 0.005,
    "GEL": 0.001,
}

# 原材料中蛋白质的含量(g/g)
proteinPercent = {
    "CHICKEN": 0.100,
    "BEEF": 0.200,
    "MUTTON": 0.150,
    "RICE": 0.000,
    "WHEAT": 0.040,
    "GEL": 0.000,
}

# 原材料中脂肪的含量(g/g)
fatPercent = {
    "CHICKEN": 0.080,
    "BEEF": 0.100,
    "MUTTON": 0.110,
    "RICE": 0.010,
    "WHEAT": 0.010,
    "GEL": 0.000,
}

# 原材料中纤维的含量(g/g)
fibrePercent = {
    "CHICKEN": 0.001,
    "BEEF": 0.005,
    "MUTTON": 0.003,
    "RICE": 0.100,
    "WHEAT": 0.150,
    "GEL": 0.000,
}

# 原材料中盐分的含量(g/g)
saltPercent = {
    "CHICKEN": 0.002,
    "BEEF": 0.005,
    "MUTTON": 0.007,
    "RICE": 0.002,
    "WHEAT": 0.008,
    "GEL": 0.000,
}

创建问题

# 创建问题
prob = pl.LpProblem("猫粮配方问题",pl.LpMinimize)

创建变量

使用LpVariable.dicts()集中创建变量，参数：
1. name:字符串，变量名称的前缀
2. indexs:字符串list,变量（一般是原材料名）的名称列表
3. lowBound:变量下限,默认None
4. upBound:变量上限,默认None
5. cat:数据的属性，实质上是数据的类型(离散或者连续)，可选:“pl.LpInterger”、“pl.LpBinary"或者"pl.LpContinuous”（默认）

ingredient_vars = pl.LpVariable.dicts("Ingr",Ingredients,0)
print(ingredient_vars)

打印出来的变量结果为：

{'CHICKEN': Ingr_CHICKEN, 'BEEF': Ingr_BEEF, 'MUTTON': Ingr_MUTTON, 'RICE': Ingr_RICE, 'WHEAT': Ingr_WHEAT, 'GEL': Ingr_GEL}

创建目标函数

#创建目标函数
prob += pl.lpSum([costs[i]*ingredient_vars[i] for i in Ingredients])

创建约束

#添加约束条件
# 所有参数的和为100
prob += pl.lpSum([ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) == 100
# 每100克猫粮的蛋白质含量必须不小于8克
prob += pl.lpSum([proteinPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) >= 8.0
# 每100克猫粮的脂肪含量必须不小于6克
prob += pl.lpSum([fatPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) >= 6.0
# 每100克猫粮的纤维含量必须不大于2克
prob += pl.lpSum([fibrePercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) <= 2.0
# 每100克猫粮的盐分含量必须不大于0.4克
prob += pl.lpSum([saltPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) <= 0.4

解决问题

# 解决问题
prob.solve()
print("状态:",pl.LpStatus[prob.status])
"""
打印输出为:
状态: Optimal
"""
# 输出变量值
for i in Ingredients:
    print(ingredient_vars[i],"=",ingredient_vars[i].value())
"""
打印输出为:
Ingr_CHICKEN = 0.0
Ingr_BEEF = 60.0
Ingr_MUTTON = 0.0
Ingr_RICE = 0.0
Ingr_WHEAT = 0.0
Ingr_GEL = 40.0
"""
# 输出结果
print("每百克成品的成本价 = ",pl.value(prob.objective))
"""
打印输出为：
每百克成品的成本价 =  0.52
"""

完整的程序

# 导入包
import pulp as pl

# 创建原料表
Ingredients = ["CHICKEN", "BEEF", "MUTTON", "RICE", "WHEAT", "GEL"]

# 原材料成本单价(美元/克)
costs = {
    "CHICKEN": 0.013,
    "BEEF": 0.008,
    "MUTTON": 0.010,
    "RICE": 0.002,
    "WHEAT": 0.005,
    "GEL": 0.001,
}

# 原材料中蛋白质的含量(g/g)
proteinPercent = {
    "CHICKEN": 0.100,
    "BEEF": 0.200,
    "MUTTON": 0.150,
    "RICE": 0.000,
    "WHEAT": 0.040,
    "GEL": 0.000,
}

# 原材料中脂肪的含量(g/g)
fatPercent = {
    "CHICKEN": 0.080,
    "BEEF": 0.100,
    "MUTTON": 0.110,
    "RICE": 0.010,
    "WHEAT": 0.010,
    "GEL": 0.000,
}

# 原材料中纤维的含量(g/g)
fibrePercent = {
    "CHICKEN": 0.001,
    "BEEF": 0.005,
    "MUTTON": 0.003,
    "RICE": 0.100,
    "WHEAT": 0.150,
    "GEL": 0.000,
}

# 原材料中盐分的含量(g/g)
saltPercent = {
    "CHICKEN": 0.002,
    "BEEF": 0.005,
    "MUTTON": 0.007,
    "RICE": 0.002,
    "WHEAT": 0.008,
    "GEL": 0.000,
}

# 创建问题
prob = pl.LpProblem("猫粮配方问题",pl.LpMinimize)

# 创建变量
ingredient_vars = pl.LpVariable.dicts("Ingr",Ingredients,0)

#创建目标函数
prob += pl.lpSum([costs[i]*ingredient_vars[i] for i in Ingredients])

#添加约束条件
# 所有参数的和为100
prob += pl.lpSum([ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) == 100
# 每100克猫粮的蛋白质含量必须不小于8克
prob += pl.lpSum([proteinPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) >= 8.0
# 每100克猫粮的脂肪含量必须不小于6克
prob += pl.lpSum([fatPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) >= 6.0
# 每100克猫粮的纤维含量必须不大于2克
prob += pl.lpSum([fibrePercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) <= 2.0
# 每100克猫粮的盐分含量必须不大于0.4克
prob += pl.lpSum([saltPercent[i] * ingredient_vars[i] for i in Ingredients]) <= 0.4

# 解决问题
prob.solve()
print("状态:",pl.LpStatus[prob.status])

# 输出变量值
for i in Ingredients:
    print(ingredient_vars[i],"=",ingredient_vars[i].value())

# 输出结果
print("每百克成品的成本价 = ",pl.value(prob.objective))

参考资料

https://coin-or.github.io/pulp/CaseStudies/a_blending_problem.html

以上是关于用线性规划解决配方问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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