面试题 17.09. 第 k 个数

Posted 2021-09-28 炫云云

面试题 17.09. 第 k 个数

有些数的素因子只有 3，5，7，请设计一个算法找出第 k 个数。注意，不是必须有这些素因子，而是必须不包含其他的素因子。例如，前几个数按顺序应该是 1，3，5，7，9，15，21。

示例 1:

输入: k = 5

输出: 9

动态规划

不难发现，一个丑数总是由前面的某一个丑数 x3 / x5 / x7 得到。

反过来说也是一样的，一个丑数 x3 / x5 / x7 就会得到某一个更大的丑数。

定义数组 $\text{numList}$​​​ ，其中 $\text{numList}[i-1]$​​​ 表示第 $i$​​​ 个丑数，第 $n$​​​ 个丑数即为$\text{numList}[n-1]$​​​ 。

由于最小的丑数是 1 ，因此 $\text{numList}[0]=1$ 。那么考虑一下三个数列：

1. numList[0]*3,numList[1]*3,numList[2]*3,numList[3]*3,……
2. numList[0]*5,numList[1]*5,numList[2]*5,numList[3]*5,numList[4]*5,numList[5]*5……
3. numList[0]*7,numList[1]*7,numList[2]*7,numList[3]*7,numList[4]*7,numList[5]*7……

上面这个三个数列合在一起就形成了新的、更长的丑数数列。

如果合在一起呢？这其实就是一个合并有序线性表的问题。

定义三个p分别指向上面三个数列，下一个丑数一定是三个 p代表的值中最小的那个。然后相应 p +=1 即可。

如何得到其余的丑数呢？定义三个指针 $p_3,p_5,p_7$ ，表示下一个丑数是当前指针指向的丑数乘以对应的质因数。初始值 numList[0]=1; p3=0; p5=0; p7=0

numList[1]=Min(numList[p1]*3,numList[p5]*5,numList[p7]*7)
=Min(1*3,1*5,1*7)
=3
于是 p3+=1;

numList[2]=Min(numList[p1]*3,numList[p5]*5,numList[p7]*7)
=Min(3*3,1*5,1*7)
=5
于是 p5+=1;

当 $1\le i\le n$​​ 时，令 $\text{dp}[i]=\min (\text{numList}[p_7]\times 7,\text{numList}[p_3]\times 3,\text{numList}[p_5]\times 5)$​​ ，然后分别比较 $\text{numList}[i]和\text{numList}[p_7],\text{numList}[p_3],\text{numList}[p_5]$​​ 是否相等，如果相等则将对应的指针加 1 。

class Solution:
    def getKthMagicNumber(self, k: int) -> int:
        numList = [1] *k
        p3=0;p5=0;p7=0
        for i in range(1,k):
            numList[i] = min(min(numList[p3]*3,numList[p5]*5), numList[p7]*7)
            if numList[i]==numList[p3]*3:
                p3+=1
            if numList[i]==numList[p5]*5:
                p5+=1
            if numList[i]==numList[p7]*7:
                p7+=1
        return numList[-1]

最小堆

此题为简单堆的应用，堆的基础知识如下：

堆（Heap）是一个可以被看成近似完全二叉树的数组。
堆包括最大堆和最小堆：最大堆的每一个节点（除了根结点）的值不大于其父节点；
最小堆的每一个节点（除了根结点）的值不小于其父节点。

堆常见的操作及python实现如下：

# HEAPPUSH：把一个数值放进已经是堆结构的数组中，并保持堆结构，时间复杂度为O(log n)。
data = [1,5,3,2,8,5]
heap = []
for n in data:
    heapq.heappush(heap, n)

#HEAPIFY 建堆：把一个乱序的数组变成堆结构的数组，时间复杂度为 O(n)。
data = [-1,5,3,2,8,5]
heapq.heapify(data)

#HEAPPOP：从最大堆中取出最大值或从最小堆中取出最小值，并将剩余的数组保持堆结构，
#时间复杂度为O(log n)
print(heapq.heappop(data))

# HEAPREPLACE=HEAPPOP+HEAPPUSH 
heapq.heapreplace(data, -8)

要得到从小到大的第 n个丑数，可以使用最小堆实现。

初始时堆为空。首先将最小的丑数 1 加入堆。

每次取出堆顶元素 $x$，则 $x$ 是堆中最小的丑数，由于 $3x,5x,7x$ 也是丑数，因此将 $3x,5x,7x$​ 加入堆。

上述做法会导致堆中出现重复元素的情况。为了避免重复元素，可以使用哈希集合去重，避免相同元素多次加入堆。

在排除重复元素的情况下，第 $n$ 次从最小堆中取出的元素即为第 $n$ 个丑数。

class Solution:
    def getKthMagicNumber(self, k):

         # 使用小顶堆处理（因为每次需要得到最小的数字）
        heap = [1] # 第一个元素是1

        for i in range(k):
            res = heapq.heappop(heap) # 每次取出堆中的首元素（最小元素）
            while heap and res == heap[0]:  # 忽略重复的元素
                heapq.heappop(heap)
            heapq.heappush(heap, res * 3) # 依次将当前元素乘以3，5，7的值压入堆中
            heapq.heappush(heap, res * 5)
            heapq.heappush(heap, res * 7)
        return res

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)