图文解说：微积分的本质——极限

Posted 2021-09-28 鸿渐之翼

“Calculus required continuity,and continuity was supposed to require the infinitely little;but nobody could discover what the infinitely little might be."
”微积分需要连续，而连续需要无穷下，但是没人能探明无穷小的样子。“——伯特兰.罗素
如果你说的极限，就是一个 数值逼近另一个数值，只不过说的洋气点而已。
它逼近何值？

Goal 1：Formal definition of derivatives目标1导数的正式定义

当dx 逼近0时，这个比值逼近的才是真正的导数，自变量对输出量df的影响就是（起始点+dx）与f（起始点）的差，再除以dx。

我们在左边写上lim表示极限。
Limit idea is built in 内置了极限思想
把dx当作 应当逼近于零的一个量
那么下图所示，右边的例子就是左边的简写版本

右边的例子不含“无穷小”的悖论，那么为什么会引用h，
因为有人喜欢将dx解读为“无穷小的变化量”
dx is infinitely small
也有人认为dx与df是数学符号
dx is nothing more than a symbol
我们讨论极限时，讨论的是当变量逼近于零的时候的影响，而非无穷小的变化量的影响。

比如考虑函数[(2+h)^3 - 2^3]/h

我们先把它看作一个取值变量就是h的函数。
当h=0时，0/0在这点没有明确的值

但是当函数无限接近于0的时候，函数仍然有定义
当h趋近于0的时候，这个比值的极限是12

Goal2：(ε,δ)definition of limits极限的(ε,δ)定义

什么是逼近？

出去x=0点，我们来观察这些点对应的函数值

当函数值在0附近不断缩小时，函数值的范围越来越接近于12。

当h逼近于0时，函数值是不确定的


所以这个点极限不存在 如果在取值范围内，范围缩小时，函数值不会收缩到特定的值上
以上分析只是冰山一角。
以上例子中，函数将无限接近12，我们使用希腊字母ε来表示这一段距离，你总能在极限点附近，离0点距离为某δ的取值范围内找到一系列取值点

使得范围内的任一取值点，它的函数值都处距离在12为·ε范围之内。
无论ε多小，都有其对应的δ的值。

Goal3: L’Hopital’s rule “洛必达法则”

假设研究函数
sin(pix)/(x ^ 2-1).

当函数x=1或者-1的时候，函数等于0，所以在函数这个点上没有定义，图像上应该有一个洞

那么它的极限是什么呢？

一种估算的方法是取一个很靠近1的值，比如1.00001
这杨就会得到一个约等于-1.57的值
当极限帮我们解决了导数的定义的时候，导数还可以报答我们，帮助我们求极限

这是x^2-1与sin(pix)的图像

目前我们只关注x=1这个点

这个点上，函数sin(pix)和x^2-1的值都是0，都穿过x轴
我们在1的附近取值1.00001，在那个点上放大，考虑某个微小变化量dx对其影响
sin(pix)会减少，变量dx对函数造成的影响，就是这个函数值的变化量我们称之为d(sin(pi*x))

下面运用导数的链式法则对d(sin(pix))求导，这个
值应该是cos(pi * x) * pi * dx

我们把x=1带入这个式子，带入1进入表达式后得到

因为cos(pi)=-1，所以化简得到-pi * dx

同样的x * 2-1的变化量为d(x^2-1)

求导后得到2xdx

同样的代入x=1
最后得到

约掉dx

dx取值越小 ，变化量就越精确

这意味着在原来图像上，极限点的高度为-pi/2

我们不考虑两个确切的函数，而是考虑函数f(X)和g(x)
在他们x=a处值均为0

它们在 x=a点可导，这意味着在无限放之后，它们可以被看作是直线

因为它们在这个点取值都为0所以，你不能直接计算f(a)/g(a)的值，但我们可以取距离a十分相近的值，求x逼近于a的极限值

在那些点上，f的值几乎就是导数的值，即df/dx 在a点的值在乘上dx大约是dg/dx(a)*dx


所以在这个点上，函数f(x)和g(x)的输出之比，就是f(x)在a点的导数乘上dx再除以g(x)在a点的导数乘dx

由于上下dx抵消了，所以这个比值几乎就与f和g导数值之比相等。变量dx取值越小，这个比值就越精确，所以这个比值就等于极限值的精确值。

当我们在计算0/0型的极限时，可以对分子分母分别求导，然后再把那个数代入
这个技巧就叫做“洛必达法则”

实际上，这个技巧是被约翰波努特发现的，完全可以说，想拥有对这些微小变化量的理解是值得“付出”的

导数的定义到头来就是计算0/0型的极限

不知道分子的导数，就不能使用洛必达法则