Halo2 学习笔记——背景资料

Posted 2021-09-27 mutourend

1. Fields

很多密码学协议中的基础元素为名为fields的algebraic structure。

Fields为sets of objects (通常为numbers)，其具有two associated binary operators $+$和$\times$，使得各种field axioms(公理) 成立。
实数$\mathbb{R}$为具有无数元素的field。

Halo使用的是有限域，具有有限数量的元素。有限域可分为：

• 若$\mathbb{F}$为有限域，则其包含$|\mathbb{F}|=p^k$个元素，其中整数$k\ge 1$，$p$为素数。
• 任意两个具有相同数量元素的有限域都是isomorphic的。特别地，所有的arithmetic in a prime field ${\mathbb{F}}_p$ 是 isomorphic to addition and multiplication of integers modulo $p$，即in ${\mathbb{Z}}_p$。这就是为什么我们经常把$p$称为modulus。

定义field ${\mathbb{F}}_q$，其中$q=p^k$，其中prime $p$称为其characteristic。当$k>1$时，field ${\mathbb{F}}_q$为a $k$-degree extension of the filed ${\mathbb{F}}_p$。（类比于，复数$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$为实数的extension。）

但是，在Halo中不使用extension fields。${\mathbb{F}}_p$是指a prime field，其具有prime $p$个元素，即$k=1$。

重点知识为：

• 在任意域中，都存在2个特殊的elements：$0$ 为additive identity；$1$ 为multiplicative identity。

参考资料

[1] Halo2 背景资料