十大排序算法对比和C++实现

Posted 2021-09-27 mingogo乔

十大排序算法复杂度对比和C++实现--更新中

• 一、性能对比
• 二、基本的排序算法实现
• • 1. 插入排序
  • 2. 选择排序
  • 3. 冒泡排序
• 三、高效的排序算法实现
• • 1. 希尔排序
  • 2. 堆排序
  • 3. 快速排序
  • 4. 归并排序
  • 5. 基数排序
  • 6. 计数排序

一、性能对比

算法	平均时间复杂度	最好情况	最坏情况	稳定性	优点	缺点
插入排序	$$O(n^2)$$	$$O(n)$$	$$O(n^2)$$	稳定	比较次数少；适用于基本有序的数列	交换次数多，插入成本大
选择排序	$$O(n^2)$$	$$O(n^2)$$	$$O(n^2)$$	稳定	交换次数少	比较次数多，任何情况都多
冒泡排序	$$O(n^2)$$	$$O(n^2)$$	$$O(n^2)$$	稳定	-	费时费力
堆排序	$$O(nlogn)$$	$$O(nlogn)$$	$$O(nlogn)$$	不稳定
快速排序	$$O(nlogn)$$	$$O(nlogn)$$	$$O(n^2)$$	不稳定
希尔排序	$<O(n^2)$	$<O(n^2)$	$<O(n^2)$	不稳定
归并排序
基数排序
计数排序

二、基本的排序算法实现

1. 插入排序

将第i个元素作为label，插入到 i 之前的合适位置；
每一趟排序结束后，i 位置前元素有序；

缺点是需要进行多次元素的赋值，如果有数据插入，所有之前比它大的数字都要移动；
优点是有需要时候才会进行排序，最好情况下只需要$O(n)$次比较，不需要移动，适合用在元素基本有序的情况。

void insertionsort(vector<int>& data) {
	int sz = data.size();
	for (int i = 1; i < sz; ++i) {
		int label = data[i],j = i;
		for (; j > 0 && data[j - 1] > label; --j) {
			data[j] = data[j - 1];
		}
		data[j] = label;
	}
}

2. 选择排序

在第i个元素之后选择最小的元素，放在第i个位置；
每一趟排序后，第i个元素前元素全局有序；
进行元素的交换；

优点是赋值次数少；
缺点是最好情况和最坏情况复杂度相同，不论任何情况都要进行$O(n^2)$次比较。

void selection(vector<int>& data) {
	int sz = data.size();
	for (int i = 0; i < sz; ++i) {
		int label = i;//最小元素的坐标
		for (int j = i + 1; j < sz; ++j) {
			if (data[j] < data[label]) {
				label = j;
			}
		}
		swap(data, i, label);
	}
}

3. 冒泡排序

笨蛋版本的选择排序，每趟排序后的结果和选择排序相同，但增加了很多交换次数。
貌似没有发现什么优点的亚子。。。
缺点是费时费力，和选择排序相同，不论任何情况都要进行$O(n^2)$次比较，交换次数又和需要多次赋值的插入排序相同。

void bubblesort(vector<int>& data) {
	int sz = data.size();
	for (int i = 0; i < sz; ++i) {
		for (int j = sz - 1; j > i; --j) {
			if (data[j] < data[j - 1]) {
				swap(data, j, j - 1);
			}
		}
	}
}

三、高效的排序算法实现

1. 希尔排序

基本思路就是分成子序列进行预排序，间隔从大到小，每种间隔h分别有h个子序列。

复杂度比较难于分析，大致是 $O(n^m),1<m<2$

void shellsort(vector<int>&data){
	int sz = data.size();
	//构建最优的间隔序列
	stack<int> H;
	int h = 1;
	while(h < sz){
		H.push(h);
		h = 3 * h + 1;
	}

	//从大到小遍历间隔序列
	while(!H.empty()){
		h = H.back();
		H.pop();
		//每种间隔有h个子序列
		for(int j = h; j < 2*h && j < sz; ++j){
			//对每个子序列进行排序，考虑到序列元素较少且基本有序，这里使用插入排序
			for(int k = j; k < sz; k += h){
				int label = data[k], t = k;
				for(; t-h >= 0 && data[t-h] > label; t -= h){
					data[t] = data[t-h];
				}
				data[t] = label;
			}
		}
	}
}

2. 堆排序

要排序的数列是一个层序遍历的树；
维护一个大顶堆，每次交换队首元素和队尾元素，即，将原本位于队首的最大的元素置于最后，然后将大顶堆size-1，进行更新维持为大顶堆。

简要理解其复杂度，大致需要进行 $n$ 次交换队首和队尾元素，每次交换后更新树，需要进行树的深度（即 $logi$ ）次的最大元素上传，总复杂度为 $O(nlogn)$。

C++中有priority_queue容器，本文不使用容器手撕大顶堆。

void heapify(vector<int>& data, int i, int size) {
	if (i > (size - 1) / 2) {
		return;
	}
	//对当前子堆进行堆排序,找到最大值
	int max = i;
	if (2*i + 1 < size && data[2*i + 1] > data[max]) {
		max = 2*i + 1;
	}
	if (2*i + 2 < size && data[2*i + 2] > data[max]) {
		max = 2*i + 2;
	}
	if (max != i) {
		swap(data, i, max);
		//进行交换后，可能破坏了已经完成的下层堆排序，需要对交换过的节点进行，进行一个推排序递归
		heapify(data, max, size);
	}

}

void buildheap(vector<int>& data, int size) {
	//从底而上遍历根节点们
	for (int i = (size-1) / 2 ; i >= 0; --i) {
		heapify(data, i, size);
	}
}
//排序
void heapsort(vector<int>& data) {
	int sz = data.size();
	while (sz > 0) {
		buildheap(data, sz);
		swap(data, 0, sz-1);
		sz--;
	}
}

3. 快速排序

选择一个bound，所有比它小的元素都在左边，比它大的元素都在右边，然后对左右序列递归。

通过划分左右序列，减少比较次数。
最优情况下每次划分都分在中间，划分了 $logn$ 次；最劣情况下每次有一个子序列只有1个元素，划分了 $n$ 次。
每次划分的子序列加起来进行了 $n$ 次比较，因此，最优时间复杂度为 $O(nlogn)$，最差为 $O(n^2)$ 。
一般情况的复杂度接近最优情况，为 $O(nlogn)$。

双指针写的快排算法，额外空间复杂度为 $O(1)$ 。

void quicksort(vector<int>&data,int first, int last){
	swap(nums, first, (first+last)>>1);
	int bound = data[first], lower = first + 1, upper = last;
	while(lower <= upper){
		while(lower <= last && data[lower] <= bound) ++lower;
		while(upper > first && data[upper] >= bound) --upper;
		if(lower < upper) swap(data, lower, upper);
	}
	//upper右边的元素都>=bound
	//upper此时指向的值小于bound, 也就是first位置的值
	swap(data, first, upper);
	//此时upper位置就是bound，判断它的左右两边
	//如果不止一个元素，就递归进行快排
	if(upper-1 > first) quicksort(data, first, upper-1);
	if(upper+1 < last) quicksort(data, upper+1, last);
}

//调用
//quicksort(d, 0, d.size()-1);

4. 归并排序

5. 基数排序

6. 计数排序