最大流 ISAP

Posted 2021-09-27 jpphy0

引入
求解最大流问题的一个比较容易想到的方法就是，每次在残量网络（residual network）中任意寻找一条从$s$到$t$的路径，然后增广，直到不存在这样的路径为止。这就是一般增广路算法（labeling algorithm）。可以证明这种不加改进的贪婪算法是正确的。假设最大流是$f$，那么它的运行时间为$O\left(f\cdot \mid E\mid \right)$。但是，这个运行时间并不好，因为它和最大流$f$有关。
人们发现，如果每次都沿着残量网络中的最短增广路增广，则运行时间可以减为$O\\left(\\mid E\\mid^2\\cdot\\mid V\\mid\\right)$。这就是最短增广路算法。而 ISAP 算法则是最短增广路算法的一个改进。其实，ISAP 的意思正是「改进的最短增广路」 (Improved Shortest Augmenting Path)。
顺便说一句，上面讨论的所有算法根本上都属于增广路方法（Ford-Fulkerson method）。和它对应的就是大名鼎鼎的预流推进方法（Preflow-push method）。其中最高标号预流推进算法（Highest-label preflow-push algorithm）的复杂度可以达到$O\left(\mid V{\mid }^2\sqrt{\mid E\mid }\right)$。虽然在复杂度上比增广路方法进步很多，但是预流推进算法复杂度的上界是比较紧的，因此有时差距并不会很大。
算法解释
概括地说，ISAP 算法就是不停地找最短增广路，找到之后增广；如果遇到死路就 retreat，直到发现$s$,$t$不连通，算法结束。找最短路本质上就是无权最短路径问题，因此采用 BFS 的思想。具体来说，使用一个数组$d$，记录每个节点到汇点$t$的最短距离。搜索的时候，只沿着满足$d[u]=d[v]+1$的边$u\to v$（这样的边称为允许弧）走。显然，这样走出来的一定是最短路。
原图存在两种子图，一个是残量网络，一个是允许弧组成的图。残量网络保证可增广，允许弧保证最短路（时间界较优）。所以，在寻找增广路的过程中，一直是在残量网络中沿着允许弧寻找。因此，允许弧应该是属于残量网络的，而非原图的。换句话说，我们沿着允许弧，走的是残量网络（而非原图）中的最短路径。当我们找到沿着残量网络找到一条增广路，增广后，残量网络肯定会变化（至少少了一条边），因此决定允许弧的$d$数组要进行相应的更新（顺便提一句，Dinic 的做法就是每次增广都重新计算$d$数组）。然而，ISAP 「改进」的地方之一就是，其实没有必要马上更新$d$数组。这是因为，去掉一条边只可能令路径变得更长，而如果增广之前的残量网络存在另一条最短路，并且在增广后的残量网络中仍存在，那么这条路径毫无疑问是最短的。所以，ISAP 的做法是继续增广，直到遇到死路，才执行 retreat 操作。
说到这里，大家应该都猜到了，retreat 操作的主要任务就是更新$d$数组。那么怎么更新呢？非常简单：假设是从节点$u$找遍了邻接边也没找到允许弧的；再设一变量$m$，令$m$等于残量网络中$u$的所有邻接点的$d$数组的最小值，然后令$d[u]$等于$m+1$即可。这是因为，进入 retreat 环节说明残量网络中$u$和$t$已经不能通过（已过时）的允许弧相连，那么$u$和$t$实际上在残量网络中的最短路的长是多少呢？（这正是$d$的定义！）显然是残量网络中$u$的所有邻接点和$t$的距离加$1$的最小情况。特殊情况是，残量网络中$u$根本没有邻接点。如果是这样，只需要把$d[u]$设为一个比较大的数即可，这会导致任何点到$u$的边被排除到残量网络以外。（严格来说只要大于等于$\mid V\mid$即可。由于最短路一定是无环的，因此任意路径长最大是$\mid V\mid -1$）。修改之后，只需要把正在研究的节点$u$沿着刚才走的路退一步，然后继续搜索即可。
讲到这里，ISAP 算法的框架内容就讲完了。对于代码本身，还有几个优化和实现的技巧需要说明。

1. 算法执行之前需要用 BFS 初始化$d$数组，方法是从$t$到$s$逆向进行。
2. 算法主体需要维护一个「当前节点」$u$，执行这个节点的前进、retreat 等操作。
3. 记录路径的方法非常简单，声明一个数组$p$，令$p[i]$等于增广路上到达节点$i$的边的序号（这样就可以找到从哪个顶点到的顶点$i$）。需要路径的时候反向追踪一下就可以了。
4. 判断残量网络中$s,t$不连通的条件，就是$d[s]\ge \mid V\mid$。这是因为当$s,t$不连通时，最终残量网络中$s$将没有任何邻接点，对$s$的 retreat 将导致上面条件的成立。
5. GAP 优化。GAP 优化可以提前结束程序，很多时候提速非常明显（高达 100 倍以上）。GAP 优化是说，进入 retreat 环节后，$u,t$之间的连通性消失，但如果$u$是最后一个和$t$距离$d[u]$（更新前）的点，说明此时$s,t$也不连通了。这是因为，虽然$u,t$已经不连通，但毕竟我们走的是最短路，其他点此时到$t$的距离一定大于$d[u]$（更新前），因此其他点要到$t$，必然要经过一个和$t$距离为$d[u]$（更新前）的点。GAP 优化的实现非常简单，用一个数组记录并在适当的时候判断、跳出循环就可以了。
6. 另一个优化，就是用一个数组保存一个点已经尝试过了哪个邻接边。寻找增广的过程实际上类似于一个 BFS 过程，因此之前处理过的邻接边是不需要重新处理的（残量网络中的边只会越来越少）。具体实现方法直接看代码就可以，非常容易理解。需要注意的一点是，下次应该从上次处理到的邻接边继续处理，而非从上次处理到的邻接边的下一条开始。
   最后说一下增广过程。增广过程非常简单，寻找增广路成功（当前节点处理到$t$）后，沿着你记录的路径走一遍，记录一路上的最小残量，然后从$s$到$t$更新流量即可。

int source;         // 源点
int sink;           // 汇点
int p[max_nodes];   // 可增广路上的上一条弧的编号
int num[max_nodes]; // 和 t 的最短距离等于 i 的节点数量
int cur[max_nodes]; // 当前弧下标
int d[max_nodes];   // 残量网络中节点 i 到汇点 t 的最短距离
bool visited[max_nodes];

// 预处理, 反向 BFS 构造 d 数组
bool bfs()
{
    memset(visited, 0, sizeof(visited));
    queue<int> Q;
    Q.push(sink);
    visited[sink] = 1;
    d[sink] = 0;
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix) {
            Edge &e = edges[(*ix)^1];
            if (!visited[e.from] && e.capacity > e.flow) {
                visited[e.from] = true;
                d[e.from] = d[u] + 1;
                Q.push(e.from);
            }
        }
    }
    return visited[source];
}

// 增广
int augment()
{
    int u = sink, df = __inf;
    // 从汇点到源点通过 p 追踪增广路径, df 为一路上最小的残量
    while (u != source) {
        Edge &e = edges[p[u]];
        df = min(df, e.capacity - e.flow);
        u = edges[p[u]].from;
    }
    u = sink;
    // 从汇点到源点更新流量
    while (u != source) {
        edges[p[u]].flow += df;
        edges[p[u]^1].flow -= df;
        u = edges[p[u]].from;
    }
    return df;
}

int max_flow()
{
    int flow = 0;
    bfs();
    memset(num, 0, sizeof(num));
    for (int i = 0; i < num_nodes; i++) num[d[i]]++;
    int u = source;
    memset(cur, 0, sizeof(cur));
    while (d[source] < num_nodes) {
        if (u == sink) {
            flow += augment();
            u = source;
        }
        bool advanced = false;
        for (int i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) { 
            Edge& e = edges[G[u][i]];
            if (e.capacity > e.flow && d[u] == d[e.to] + 1) {
                advanced = true;
                p[e.to] = G[u][i];
                cur[u] = i;
                u = e.to;
                break;
            }
        }
        if (!advanced) { // retreat
            int m = num_nodes - 1;
            for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix)
                if (edges[*ix].capacity > edges[*ix].flow)
                    m = min(m, d[edges[*ix].to]);
            if (--num[d[u]] == 0) break; // gap 优化
            num[d[u] = m+1]++;
            cur[u] = 0;
            if (u != source)
                u = edges[p[u]].from;
        }
    }
    return flow;
}