二叉搜索树(二叉排序树)

Posted 2021-09-26 爱敲代码的三毛

一.概念

二叉搜索树又称二叉排序树，具有以下性质：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

注意：二叉搜索树中序遍历的结果是有序的

二、基本操作

1.查找元素

思路：二叉搜索树的左子树永远是比根节点小的，而它的右子树则都是比根节点大的值。当前节点比要找的大就往左走，当前元素比要找的小就往右走

	public Node search(int key) {
        if(root == null) {
            return null;
        }
        Node cur = root;
        while (cur != null) {
            if(cur.val == key) {
                return cur;
            }else if(cur.val > key) {
                cur = cur.left;
            }else{
                cur = cur.right;
            }
        }
        return null;
    }

2.插入元素

如果是空树直接把元素插入root位置就好了
思路：因为是二叉搜索树就不能插入重复的元素了，且每次插入都是插入到叶子节点的位置。定义一个 cur 从root开始，插入的元素比当前位置元素小就往左走，比当前位置元素大就往右走，直到为空，所以就需要再定义一个变量parent 记住 cur 的前面的位置。
最后再判断插入到parent 的左子树还是右子树位置

代码实现：

	public boolean insert(int key) {
        Node node = new Node(key);
        if(root == null) {
            this.root = node;
            return true;
        }
        Node parent = null;
        Node cur = root;
        while (cur != null) {
            if(cur.val == key) {
                //有相同的元素直接return
                return false;
            }else if(cur.val > key) {
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }else{
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }
        }
        if (parent.val > key) {
            parent.left = node;
        }else{
            parent.right = node;
        }
        return true;
    }

3.删除元素

删除元素是一个比较难的点，要考虑到很多种情况

1. cur.left == null

   1. cur 是 root，则 root = cur.right
   2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
   3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right

2. cur.right == null

   1. cur 是 root，则 root = cur.left
   2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
   3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left

3. cur.left != null && cur.right != null
   采用替罪羊的方式删除

   1. 找到要删除节点，右树最左边的节点或者找到左树最右边的节点，替换这个两个节点的val值。
   2. 这样才能保证，删除后左树一定比根节点小，右树一定比根节点大
      

	public boolean remove(int key) {
        if(this.root == null) {
            return false;
        }
        Node parent = null;
        Node cur = this.root;
        while (cur != null) {
            if(cur.val == key) {
                removeKey(parent,cur);
                return true;
            }else if(cur.val < key) {
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else{
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }
        }
        return false;
    }
    public void removeKey(Node parent,Node cur) {
        if(cur.left == null) {
            if(cur == this.root) {
                this.root = this.root.right;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.right;
            }else{
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if(cur.right == null) {
            if(this.root == cur) {
                this.root = this.root.left;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.left;
            }else{
                parent.right = cur.left;
            }
        }else{//左右都不为空的情况
            Node targetParent = cur;
            Node target = cur.right;
            while (target.left != null) {
                targetParent = target;
                target = target.left;
            }
            cur.val = target.val;
            if(targetParent.left == target) {
                targetParent.left = target.right;
            }else{
                targetParent.right = target.right;
            }
        }
    }

4.性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最好情况：二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为 O(log${}_2$n)

最坏情况：二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：O

所有代码：

public class BinarySearchTree {
    public static class Node {
        int val;
        Node left;
        Node right;

        public Node(int val) {
            this.val = val;
        }
    }
    public Node root = null;
    /**
     * 查找某个节点
     * @param key
     */
    public Node search(int key) {
        if(root == null) {
            return null;
        }
        Node cur = root;
        while (cur != null) {
            if(cur.val == key) {
                return cur;
            }else if(cur.val > key) {
                cur = cur.left;
            }else{
                cur = cur.right;
            }
        }
        return null;
    }

    /**
     * 插入元素
     * @param key
     * @return
     */
    public boolean insert(int key) {
        Node node = new Node(key);
        if(root == null) {
            this.root = node;
            return true;
        }
        Node parent = null;
        Node cur = root;
        while (cur != null) {
            if(cur.val == key) {
                //有相同的元素直接return
                return false;
            }else if(cur.val > key) {
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }else{
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }
        }
        if (parent.val > key) {
            parent.left = node;
        }else{
            parent.right = node;
        }
        return true;
    }

    /**
     * 删除元素
     * @param key
     */
    public boolean remove(int key) {
        if(this.root == null) {
            return false;
        }
        Node parent = null;
        Node cur = this.root;
        while (cur != null) {
            if(cur.val == key) {
                removeKey(parent,cur);
                return true;
            }else if(cur.val < key) {
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else{
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }
        }
        return false;
    }
    public void removeKey(Node parent,Node cur) {
        if(cur.left == null) {
            if(cur == this.root) {
                this.root = this.root.right;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.right;
            }else{
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if(cur.right == null) {
            if(this.root == cur) {
                this.root = this.root.left;
            }else if(cur == parent.left) {
                parent.left = cur.left;
            }else{
                parent.right = cur.left;
            }
        }else{
            Node targetParent = cur;
            Node target = cur.right;
            while (target.left != null) {
                targetParent = target;
                target = target.left;
            }
            cur.val = target.val;
            if(targetParent.left == target) {
                targetParent.left = target.right;
            }else{
                targetParent.right = target.right;
            }
        }
    }
}