BZOJ 2135 刷题计划（贪心，求导，二分）BZOJ 修复工程
Posted 繁凡さん
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了BZOJ 2135 刷题计划（贪心，求导，二分）BZOJ 修复工程相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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题目链接
https://hydro.ac/d/bzoj/p/2135
是 hydro 的 BZOJ 修复工程 ！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）
题目描述
为了提高自己的实力， gx 想要制定一个合理的刷题计划。这里我们用实数来表示题目的难度，并且把刷题计划中由题目难度组成的序列称为刷题序列。gx 刷题最喜欢循序渐进的方式，最理想的情况莫过于刷题序列是个等差数列了。但是这很难做到，于是我们定义一个刷题序列 a a a 的偏移值 p ( a ) = ∑ i = 2 n ( a i − a i − 1 − L ) 2 \\displaystyle p(a)=\\sum_{i = 2}^{n}(a_i-a_{i-1}-L)^2 p(a)=i=2∑n(ai−ai−1−L)2，其中 L L L 是给定的一个常数。
现在 gx 的老师已经布置给他 n n n 道必做题，同时他还有空余时间从 OJ 上找 m m m 道题来刷。他不希望改变这 n n n 道必做题的相对顺序，但是选做题的难度以及在数列中的位置都是任意的（OJ 上的题目太多了，随你怎么挑）。
gx 希望你帮他设计一个刷题序列，使得该序列的偏移值最小。
输入格式
输入的第一行包含三个数： n , m , L n, m, L n,m,L。 n n n 是整数，表示必做题有 n n n 道， m m m 是整数，表示选做题有 m m m 道， L L L 是实数。
第二行包含 n n n 个实数，依次表示每道必做题的难度。
输出格式
输出一个实数，表示最小的偏离值。保留三位小数。
4 3 1.0
1 4 5 3
8.000
数据规模与约定
对于 30 % 30\\% 30% 的数据， n ≤ 500 n\\le 500 n≤500， m ≤ 200 m\\le 200 m≤200。
对于 70 % 70\\% 70% 的数据， n ≤ 2 × 1 0 4 n\\le 2\\times 10^4 n≤2×104， m ≤ 1 0 5 m\\le 10^5 m≤105。
对于 100 % 100\\% 100% 的数据， 1 ≤ n ≤ 5 × 1 0 4 1\\le n\\le 5\\times 10^4 1≤n≤5×104， 1 ≤ m ≤ 1 0 8 1\\le m\\le 10^8 1≤m≤108， − 100 ≤ L ≤ 100 -100\\le L\\le 100 −100≤L≤100， ∣ a i ∣ ≤ 100 |a_i|\\le 100 ∣ai∣≤100。
存在 50 % 50\\% 50% 的数据， L = 0 L=0 L=0。
提示
样例说明：将原序列 ( 1 , 4 , 5 , 3 ) (1,4,5,3) (1,4,5,3) 变成 ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 4 , 3 ) (1,2,3,4,5,4,3) (1,2,3,4,5,4,3) ，偏离值为 8.00 8.00 8.00。
Solution
题目可以转化为，一个有 n n n 个数的序列，你有 m m m 次操作，每次操作可以在两个数之间插入一个任意大小的数，求得到的新序列的最小偏差值： p ( a ) = ∑ i = 2 n ( a i − a i − 1 − L ) 2 \\displaystyle p(a)=\\sum_{i = 2}^{n}(a_i-a_{i-1}-L)^2 p(a)=i=2∑n(ai−ai−1−L)2
序列一共有 n n n 个数，每两个数之间可以插入若干个数，显然最开始一共有 n − 1 n-1 n−1 个位置可以插入，也即一共有 n − 1 n-1 n−1 个差值 a i − a i − 1 a_i-a_{i-1} ai−ai−1。对于一个序列 a 1 , a 2 , a 3 a_1,a_2,a_3 a1,a2,a3，一共有两个位置可以操作，让我们在 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2 之间进行一次操作以后，原差值 a 2 − a 1 a_2-a_1 a2−a1 就变成了 a 3 − a 2 , a 2 − a 1 a_3-a_2,a_2-a_1 a3−a2,a2−a1，即每次操作可以把一个差值分成两份，求最后进行 m m m 次操作以后得到的 n − 1 + m n-1+m n−1+m 个差值序列中每个数与 L L L 的差的平方和最小是多少。
我们设这 n − 1 n-1 n−1 个差值，第 i i i 个差值的值为 s s s 分裂 x i x_i xi 次。
设 f ( s , x ) f(s,x) f(s,x) 表示一个数 s s s，分裂 x x x 次后产生的最小平方和，根据柯西不等式，显然我们将 s s s 平分成 x + 1 x+1 x+1 份是最优的。
因此我们可以得到 ：
f ( s , x ) = ( S x + 1 − L ) 2 × ( x + 1 ) = ( s − ( x + 1 ) × L ) 2 x + 1 = s 2 x + 1 + 2 s L + ( x + 1 ) × L 2 \\begin{aligned}f(s, x)&=(\\cfrac {S}{x+1}-L)^2\\times (x+1)&\\\\&=\\cfrac {(s-(x+1)\\times L)^2}{x+1}&\\\\&=\\frac {s^2}{x+1}+2sL+(x+1)\\times L^ 2 \\end{aligned} f(s,x)=(x+1S−L)2×(x+1)=x+1(s−(x+1)×L)2=x+1BZOJ第一页刷题计划