Codeforces Beta Round #50 C 数位DP+概率DP

Posted 2021-09-22 行码棋

C. First Digit Law

题意：
有n个区间，每个区间代表一个数，这个数取值的范围就是这个区间代表的范围。
然后问这n个数中代表的数首数字为1的占的比率大于等于$K\%$的概率

思路：
题目有点绕。
我们可以先求n个数中首数字为1的概率，然后与K%比较，如果大于等于K%的话就让结果把这个概率加上。

概率DP

首先我们要求出来每个区间首数字为1的概率，就是首数字为1的数字个数除于区间中的数的总个数，对应$p[i]=(double)cnt/(r-l+1)$
状态表示：
$f[i][j]$为前i个数中有j个数满足第一位为1的概率
转移方程：
$f[i][j]=f[i-1][j]\ast (1-p[i])+f[i-1][j-1]\ast p[i]$

$f[i-1][j]\ast (1-p[i])$是第i个数开头不是1，那么就是前i-1个数里面选，有j个的概率乘上第i个首数字不是1的概率

$f[i-1][j-1]\ast p[i]$是第i个数字首数字为1的情况，前i-1个数字有j-1个首数字为1的概率乘上第i个数字为1的概率

数位DP：

求区间中首数字等于1的个数需要用到数位DP，否则就会超时。

1. 首先我们计算位数小于cnt的首数字为1的个数(cnt为总位数)
   $1+10^1+10^2+...+10^{cnt-1}$
   对应一位，两位，三位,…,cnt-1位的首数字为1的数字个数，后面的位数都有10种情况，所以乘起来就是乘方
2. 然后计算位数为cnt的首数字为1的位数
   2.1 如果首数字大于1，那么最高位等于1时后面的数字就可以随便取，因为1小于给出的数的最高位，然后就再加上前面计算的$10^{cnt-1}(temp)$就可
   
   2.2 如果首数字等于1，那么后面就不可以随便取了，能取的数就是$n-10^{cnt-1}(temp)+1$种了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<ll> vl;
const int dx[]={-1,0,1,0},dy[]={0,1,0,-1};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const int mod = 1e9+7;
const int N = 1e5+5,M = 2e5+5;

int n,m,k;
double p[1005],f[1005][1005];
ll dp(ll n)
{
	if(!n) return 0;
	
	ll t = n;
	vector<int>nums;
	while(n) nums.emplace_back(n%10),n/=10;
	ll ans = 0;
	ll temp = 1;
	for(int i=1;i<=nums.size()-1;i++,temp *= 10) ans += temp;
	
	if(nums.back()>1) return ans+temp;
	else return ans+t-temp+1;
}
void solve()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll l,r;
		ll cnt = 0;
		cin>>l>>r;
		cnt = dp(r)-dp(l-1);
		p[i] = (double)cnt/(r-l+1);
	}
	cin>>k;
	
	f[0][0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			if(j==0) f[i][j] = f[i-1][j]*(1-p[i]);
			else f[i][j] = f[i-1][j]*(1-p[i]) + f[i-1][j-1]*p[i];
		}
	}
	double res = 0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		double x = 100.0*i/n;
		if(x>=k) res += f[n][i];
	}
	printf("%.15lf\\n",res);
}
int main()
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int _;
//	cin>>_;
	_ = 1; 
	while(_--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}