贪心策略背包问题——阿里巴巴与四十大盗

Posted 2021-09-22 AI 菌

一、问题

假设山洞中有N种宝物，每种宝物有一定的重量w和相应的价值v，大盗的运载能力有限，只能随身携带重量M的宝物，一种宝物只能拿一样，宝物可以分割。那么怎么才能一次带走宝物的价值最大呢？

二、分析

根据题意，无外乎有以下三种策略：

1. 每次挑选价值最大的宝物装入背包
2. 每次挑选重量最小的宝物装入背包
3. 每次选取单位重量价值最大的宝物装入背包

根据贪心策略，为了同时满足重量限制和价值最大化，我们应该采用策略3。

三、解法

c++实现方法如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int MAX_NUM=1000;

struct three {
	double w; //重量
	double v; //宝物价值
	double p; //性价比
}s[MAX_NUM];

bool cmp(three a, three b) {
	return a.p > b.p;  //根据宝物单价降序排序
}

int main() {
	int N; //表示有n个宝物
	double M; //表示最大承载能力
	cin >> N >> M;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		cin >> s[i].w >> s[i].v;
		s[i].p = s[i].v / s[i].w;
	}
	sort(s, s + N, cmp);
	double sum = 0.0;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		if (s[i].w < M) {  //如果装得下
			M -= s[i].w;
			sum += s[i].v;
		}
		else{  //如果装不下,就装部分
			sum += M * s[i].p;
			break;
		}		
	}
	cout << "装入的最大价值为："<<sum<<endl;
	return 0;
}

四、进阶

如果假设每种宝物最多可以拿2个，且不能分割，必须按整个拿，那么怎么才能一次带走宝物的价值最大呢？

C++实现如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int MAX_NUM=1000;

struct three {
	double w; //重量
	double v; //能量值
	double p; //性价比
}s[MAX_NUM];

bool cmp(three a, three b) {
	return a.p > b.p;  //根据宝物单价降序排序
}

int main() {
	int N; //表示有n个宝物
	double M; //表示最大承载能力
	cin >> N >> M;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		cin >> s[i].w >> s[i].v;
		s[i].p = s[i].v / s[i].w;
	}
	sort(s, s + N, cmp);
	double sum = 0.0;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		if (2 * s[i].w <= M) {  //如果装得下2个
			M -= 2 * s[i].w;
			sum += 2 * s[i].v;
		}
		else if (s[i].w < M) { //如果只装得下1个
			M -= s[i].w;
			sum += s[i].v;
		}
		else{  //如果装不下
			break;
		}		
	}
	cout << "装入的最大价值为："<<sum<<endl;
	return 0;
}