[M数学] lc470. 用 Rand7() 实现 Rand10()(概率+拒绝采样+经典好题)

Posted 2021-09-20 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：470. 用 Rand7() 实现 Rand10()

高赞题解：

• 力荐-----从最基础的讲起如何做到均匀的生成随机数
  
• 力荐-----从抛硬币开始，循序渐进把这道题吃透！看不懂算我输！
• 官方题解，评论可以看看------用 Rand7() 实现 Rand10()

2. 题目解析

这种等概率生成的问题非常的经典，需要仔细考虑，严谨推导。

细节与坑点：

• rand7() 可以等概率生成 1~7 之间的数，那么如果要求等概率生成 2~14 之间的数，一个直观的想法就是 rand7()+rand7() 其值域即为 [2,14] 之间的整数。但其实它并不是等概率的。 例如，2 只能由 1—1 组合生成，而类似于 6，可以 1—5，2—4，3—3 等多种类型组合生成方式，可大致认为每个数生成概率呈正态分布。
• 10 个 rand7() 相加，和对 10 取模，也可以通过本题。虽然各个数是呈正态分布的。但是模 10 可以认为它是以个位数 [0,9] 对所有数进行一个分组，那么这 10 个组中的元素个数差不多相同。在此要注意，这个差不多也不是平均的，只不过是能骗过评测机罢了。 有兴趣可以自己分组打印看看，每组有多少个数字，并将 rand7() 循环 10000 次，再看看，每组有多少数字，计算一下概率。

拒绝采样：

• 参考 官方题解，评论可以看看------用 Rand7() 实现 Rand10() 。
• 我们需要等概率生成 rand10()，那么就要尽可能找到能够等概率生成 10 的倍数的区间，然后再对 10 取模，那么就能等概率生成 [1,10] 了。
• 在此有个通用的做法： (rand_X() - 1) × Y + rand_Y() ==> 可以等概率的生成 [1, X * Y] 范围的随机数。在本题操作为 int t = (rand7() - 1) * 7 + rand7(); t 即为等概率生成 [1,49] 区间的数。
  • 可以这样理解。rand7()-1 会等概率先生成 0,7,14,21,28,35,42。然后后面的 rand7() 会在其基础上等概率加上 [1, 7]。
  • 第一个 rand7 为 0 时：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (均为1/7概率)
  • 第一个 rand7 为 1 时：8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
  • 以此类推
  • 第一个 rand7 为 7 时：43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 (均为1/7概率)
  • 两者相乘，[1, 49] 每个数出现的概率都是 1/49，为等概率生成。
• 我们仅需要等概率生成 [1,40] 这 40 个数，然后对 10 取模，将其映射到 1~10 即可。所以，[41,49] 是不需要的，那么当我们生成的 t 在 [41,49] 这个范围内，我们要进行 拒接采样。 即，这次采样是无用的，递归调用 rand10()，另其重新生成一个 [1,49] 区间的数，还是仅取 [1,40] 之间的数，由于是等概率的。所以不论取多少次， [1,40] 这个区间的数，一定是等概率产生。
• 考虑，我们取一次 t，产生 [41,49] 的无用数的概率是 9/49，有效采样概率是 40/49，期间调用了 2 次 rand7()。一个事件产生的概率是 1/p，那么得操作 p 次，才能保证该事件发生。在此，就需要操作 49/40 次才能保证取到 [1,40] 区间的数，每次调用 2 次 rand7()，即调用 radn7() 的次数是 49/20 次。
• 也就是拒绝采样的范围越少，我们调用 rand7() 的次数也就越少，整个算法复杂度就越低。 所以在此选择 [1,40] 区间，而不是 [1, 10]、[1, 20] 等区间，后者拒绝样本的范围太大，导致 rand10() 调用次数增加，导致 rand7() 调用次数增加。
• 在此可以理解为，如果生成了 [41,49] 之间的数，那么这次 rand10() 就作废掉了，顺带着本次的两次 rand7() 也作废掉了。但影响 [1,40] 之间的等概率生成吗？并不影响。 因为每次生成 t，[1,40] 的内部，都是等概率的生成的，不论对 t 采样多少次，其也均为等概率生成。

有关于拒绝采样，也可以看看 力荐-----从最基础的讲起如何做到均匀的生成随机数。
、力荐-----从抛硬币开始，循序渐进把这道题吃透！看不懂算我输！其中讲的非常不错。

最后一个技巧，将 [1,n] 之间的数，映射到 [1,k]。可以 (n-1)%k+1，但貌似没太大意义。 也可以直接 n%k+1 按照余数分，{1,11,21,31} 在一组，{10,20,30,40} 在一组，%k 仅能生成 [0,k-1] 之间的数，故最后再 +1 做一个映射，映射到 [1,k] 即可。

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• 时间复杂度：期望 $O(1)$，最坏 $O(无穷)$，即采样一直被拒绝的情况。
• 空间复杂度：$O(1)$

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// The rand7() API is already defined for you.
// int rand7();
// @return a random integer in the range 1 to 7

class Solution {
public:
    int rand10() {
        int t = (rand7() - 1) * 7 + rand7();    
        if (t > 40) return rand10();     // 拒绝采样

        // 两种映射方式，均可。前者从 0 开始，后者从 1 开始
        // return (t - 1) % 10 + 1;
        return t % 10 + 1;         // 将 1~n 的数，映射为 1~k 的数
    }
};