1062 最简分数 (20 分)(~这题让我学到很多~，多看以下两种思路！！，精简代码量~)

Posted 2021-09-20 再吃一个橘子

一个分数一般写成两个整数相除的形式：N/M，其中 M 不为0。最简分数是指分子和分母没有公约数的分数表示形式。

现给定两个不相等的正分数 N1​/M1​ 和 N2​/M2​，要求你按从小到大的顺序列出它们之间分母为 K 的最简分数。

输入格式：

输入在一行中按 N/M 的格式给出两个正分数，随后是一个正整数分母 K，其间以空格分隔。题目保证给出的所有整数都不超过 1000。

输出格式：

在一行中按 N/M 的格式列出两个给定分数之间分母为 K 的所有最简分数，按从小到大的顺序，其间以 1 个空格分隔。行首尾不得有多余空格。题目保证至少有 1 个输出。

输入样例：

7/18 13/20 12

输出样例：

5/12 7/12

英语普及：

最小公倍数（lcm）：lowest common multiple

最大公约数（gcd）:  greatest  common divisor

解题思路1：

分数定义为结构体类型，写一个求a,b,c的最小公倍数的函数lcm()，我们都知道用辗转相除法求最大公约数的方法gcd()，求得a与b的最大公约数d后，它们的最小公倍数即为a * b / d。求三个数的最小公倍数可在此基础上拓展。

设m为两个分数的分母与k三者的最小公倍数，将两个分数按分母为m进行通分，通分后设较大分子为high，较小分子为low，从low + 1出发一直遍历到high - 1，对每种分子的取值情况进行相应的判断（见下方代码2），然后按格式输出即可。

下面的代码1是我一开始写的代码，虽然测试系统的测试点都能通过，但是测试点4竟耗时100ms有余（代码2只用6ms），从代码1也可看出，对每种情况都要进行化简，是很耗费时间的，效率不高。

坑点提醒
坑点1
给出的两个分数的大小顺序是不确定的，需要你判断一下谁大谁小。

坑点
题目要求列出两个分数之间的分母为k的最简分数，不包括这两个分数。

不完全AC代码（改的他人C++代码）

代码1：

#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b);
int lcm(int a, int b, int c);
void swap(int* low, int* high);
void Simplify(int* a, int* b);
struct fraction //分数
{
    int a, b;    //分子和分母
};
int main()
{
    struct fraction f1, f2;
    int k;
    scanf("%d/%d%d/%d%d", &f1.a, &f1.b, &f2.a, &f2.b, &k);
    int m = lcm(f1.b, f2.b, k); //最小公倍数
    int low = m / f1.b * f1.a, high = m / f2.b * f2.a;
    if (low > high) {
        swap(low, high);
    }
    int flag = 1;
    for (int i = low + 1; i < high; i++) {
        int tmp1 = i, tmp2 = m;
        Simplify(&tmp1, &tmp2);
        if (tmp2 == k) {
            if (flag) {
                printf("%d/%d", tmp1, tmp2);
                flag = 0;
            }
            else {
                printf(" %d/%d", tmp1, tmp2);
            }
        }
    }
    return 0;
}
//求a与b的最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
//求a,b,c的最小公倍数
int lcm(int a, int b, int c)
{
    int m1 = a / gcd(a, b) * b;
    int m2 = b / gcd(b, c) * c;
    return m1 / gcd(m1, m2) * m2;
}
//交换函数
void swap(int* low, int* high)
{
    int* tmp = *low;
    *low = *high;
    *high = *tmp;
}
//化简分数
void Simplify(int* a, int* b)
{
    int d = gcd(*a, *b);
    *a /= d;
    *b /= d;
}

代码2：

#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b);
int lcm(int a, int b, int c);
void swap(int* low, int* high);
struct fraction //分数
{
    int a, b;    //分子和分母
};
int main()
{
    struct fraction f1, f2;
    int k;
    scanf("%d/%d%d/%d%d", &f1.a, &f1.b, &f2.a, &f2.b, &k);
    int m = lcm(f1.b, f2.b, k); //两个分数的分母与k三者的最小公倍数
    int low = m / f1.b * f1.a, high = m / f2.b * f2.a;  //两分数通分使分母为m
    if (low > high) {
        swap(low, high);    //此函数需要加上头文件 <iostream>
    }
    int flag = 1, s = m / k;
    for (int i = low + 1; i < high; i++) {
        if (i % s) {  //分子不能整除s
            continue;
        }
        int tmp = i / s;
        if (gcd(tmp, k) != 1) {   //分子分母（分母为12）还可以化简
            continue;
        }
        if (flag) {
            printf("%d/%d", tmp, k);
            flag = 0;
        }
        else {
            printf(" %d/%d", tmp, k);
        }
    }
    return 0;
}
//求a与b的最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
//求a,b,c的最小公倍数
int lcm(int a, int b, int c)
{
    int m1 = a / gcd(a, b) * b;
    int m2 = b / gcd(b, c) * c;
    return m1 / gcd(m1, m2) * m2;
}
//交换函数
void swap(int* low, int* high)
{
    int* tmp = *low;
    *low = *high;
    *high = *tmp;
}

解题思路2：

1. 使用辗转相除法gcd计算a和b的最大公约数，因为要列出n1/m1和n2/m2之间的最简分数，但是n1/m1不一定小于n2/m2，所以如果n1 * m2 > n2 * m1，说明n1/m1比n2/m2大，则调换n1和n2、m1和m2的位置～
2. 假设所求的分数分母为k、分子num，先令num=1，当n1 * k >= m1 * num时，num不断++，直到num符合n1/m1 < num/k为止～然后在n1/m1和n2/m2之间找符合条件的num的值
3. 用gcd(num, k)是否等于1判断num和k是否有最大公约数，如果等于1表示没有最大公约数，就输出num/k，然后num不断++直到退出循环～

AC代码：

#include <stdio.h>

int gcd(int a, int b)
{
    for (int r; (r = a % b); a = b, b = r);
    return b;
}

int main()
{
    int N1, N2, M1, M2, K, tmp, count = 0;
    int num = 1;//分子
    scanf("%d/%d %d/%d %d", &N1, &M1, &N2, &M2, &K);

    if (N1 * M2 > N2 * M1)
    {
        tmp = N1, N1 = N2, N2 = tmp;
        tmp = M1, M1 = M2, M2 = tmp;
    }

    while (N1 * K >= M1 * num)  num++;

    while (N1 * K < M1 * num && M2 * num < N2 * K)
    {
        if (gcd(num, K) == 1)
            printf("%s%d/%d", count++ ? " " : "", num, K);
        num++;
    }

    return 0;
}