算法的时间复杂度和空间复杂度

Posted 2021-09-20 正义的伙伴啊

算法的时间复杂度和空间复杂度

文章目录

• 算法的时间复杂度和空间复杂度
• • 算法的效率
  • 时间复杂度
  • • 时间复杂度的概念
    • 大O的渐进表示法
    • 常见的时间复杂度举例
  • 空间复杂度

算法的效率

如何衡量一个算法的好坏呢？
一个算法如果写的十分的短，是不是就非常的好呢？
例如斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

实际上斐波那契数列的函数是最铸币的算法，随着N不断增大（大概到30），计算机就有可能计算不出来了。那么我们要用什么方式去衡量一个算法的好坏，所以我们引进了时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所占用空间

时间复杂度

时间复杂度的概念

衡量一个算法的运行时间快慢也就是时间复杂度，那么计量的单位是什么？如果用我们常用的时间单位例如：秒、毫秒。这就存在一个问题，不同机器由于配置不同时间会不相同，而且要想知道时间就必须上机跑代码很麻烦。所以我们把算法花费的时间与其中语句执行次数成正比，算法中的基本操作执行个数，为算法的时间复杂度。

void fun(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d", count);
}

count在这个函数中我们很容易知道执行了F(N)=N^2+2*N+10
其实我们在计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，这里我们使用大O的渐进表示法

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

所以函数FUN的复杂度为：O(N^2)

常见的时间复杂度举例

例一：

void fun(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
}

很明显这里的时间复杂度是O(M+N)
其实如果M远远大于N则时间复杂度为O(M)
如果N远远大于M则时间复杂度为O(N)

例二：

void fun(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 1000; ++k)
	{
		++count;
	}
}

时间复杂度为O(1000)但是如果为常数的话，时间复杂度可以直接写为O(1)
例三：冒泡排序

void Bubblesort(int *a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n-1 ; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++)
		{
			if (a[j] < a[j + 1])
			{
				int temp = a[j];
				a[j] = a[j + 1];
				a[j + 1] = temp;
			}
		}
	}
}

由这个程序我们可以知道F(N)=N-1+N-2+.....+1=(N^2-N)/2

例四：二分查找

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int left = 0;
	int right = n - 1;
	while (left != right)
	{
		int mid = (left + right) / 2;
		if (x > a[mid])
		{
			left = mid + 1;
		}
		else if (x < a[mid])
		{
			right = mid - 1;
		}
		else
		{
			return mid+1;
		}
		return -1;
	}
}

这个算法对于每次查找，找不到就会将范围缩小二倍，数组缩小到0，所以时间复杂度自然也就是O(lgN)
注：这里lgN实际上是指log以2为底N的对数

实例Ⅴ：递归阶乘

long long fun(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return fun(N - 1) * N;
}

这个也非常简单return的 值为fun(N-1)*fun(N-2)........fun(0)一共是N+1个，所以中间的代码也就执行了N+1次，所以时间复杂度是O(N)

实例Ⅶ：斐波那契数列

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
	{
		return 1;
	}
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

这里时间复杂度像一颗树一样展开，每一个节点会有两个分支，所以是一个等比数列，从1一直到2^(n-2)次方的和2^(n-1)-1，但实际上要比这个小一点但是量级都是2^N,故时间复杂度为O(2^N)

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用储存空间大小的度量

空间复杂度不是程序占用了多少bytes空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。也用O（）来表示。

注意：函数运行所需要的栈空间在编译的时候就已经确认好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请的空间来确定。

实例一：冒泡排序

void Bubblesort(int *a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n-1 ; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++)
		{
			if (a[j] < a[j + 1])
			{
				int temp = a[j];
				a[j] = a[j + 1];
				a[j + 1] = temp;
			}
		}
	}
}

实际上这里开辟的空间只有i，j，temp三个所以空间复杂度为O(1)
但是我在初学的时候一直十分不解，i，j分别被定义了n次，那么空间复杂度不应该是O(N)吗？
实际上这里i，j在出了作用域之后就会被销毁，空间是可以重复利用的，所以实际上就开辟了常数个空间。
例二：

void fun(int k)
{
   int *p=(int *)malloc(n*sizeof(int));
}

这个函数就是纯纯的开辟了n个空间
例三：函数递归

long long F(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

首先答案是O(N)
这里如果对函数栈帧不是很了解的话，这个原理也就不会知道。函数栈帧可以简单的理解为：函数每被调用一次，都会在栈区上开辟一块空间，所以F（N）会调用F（N-1），F（N-1）会调用F（N-2）…顾同时会调用N个F，每个F都会开辟一块空间，所以空间复杂度为：O(N)

示例四：斐波那契数列

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
	{
		return 1;
	}
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

通过上面的实例我们就可以知道斐波那契数列实际上开辟了N个Fib函数空间，只是这些函数空间会被重复利用，总共被运行2^n-1次，所以空间复杂度为O(N)