贪心算法_排队不等式_绝对值不等式_推公式

Posted 2021-09-20 一只特立独行的猫

文章目录

• • 排队不等式
  • • 原题链接
    • 题目大意：
    • 思路：
    • 证明：
    • 代码：
  • 绝对值不等式
  • • 原题链接
    • 题目大意：
    • 思路：
    • 证明：
    • 代码：
  • 推公式
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    • 题目大意
    • 思路：
    • 证明：
    • 代码：

排队不等式

原题链接

https://www.acwing.com/problem/content/915/

题目大意：

有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？

思路：

从小到大排序，时间短的人先打水。

证明：

假设总时间为$res=t_1(n-1)+t_2(n-2)+...+t_n(n-n)$，如果res是最优解，一定有$t_i<=t_{i+1}$。
反证法：
如果$t_i>t_{i+1}$,交换$t_i$和$t_{i+1}$的打水顺序。
交换前:$re{s}_1=...+t_i(n-i)+t_{i+1}(n-i-1)+...$
交换后:$re{s}_2=...+t_{i+1}(n-i)+t_i(n-i-1)+...$
另$ans=res1-res2=t_i-t_{i+1}>0$,所以交换后总时间会变少，说明$re{s}_1$不是最优解。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5+5;

int a[N];

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    
    sort(a,a+n);
    
    LL res=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        res+=a[i]*(n-1-i);
    }
    
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

绝对值不等式

原题链接

https://www.acwing.com/problem/content/106/

题目大意：

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 $A_1\sim A_N$。
现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。
为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

思路：

找n个点的中位数，这个数就是距离的最小值点。

证明：

设$res=|x_1-x_0|+|x_2-x_0|+...+|x_1-x_n|,x_i$表示商店位置$(x_i<x_{i+1})$，$x_0$表示货仓的位置。
若商店数量为偶数家：$res=(|x_1-x_0|+|x_n-x_0|)+...+(|x_{\frac{n}{2}}-x_n|+|x_{\frac{n+1}{2}}|)$
若商店数量为奇数家：$res=(|x_1-x_0|+|x_n-x_0|)+...+|x_{\frac{n}{2}}$

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