莫比乌斯反演个人思考——关于problem b的三种推法。

Posted 2021-09-19 skywalker767

最近刷莫反题目，刷着刷着，发现problem b这道题目可以用三种方法推出来，觉得记下来以后可以方便复习，也算巩固一下。

problem b

这类问题是:
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]$$
关于这个问题，我们再熟悉不过,答案是：
$$\sum _{d^{\prime }=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{n}{d})}\mu (d^{\prime })[\frac{n}{d\ast d^{\prime }}]\ast [\frac{m}{d\ast d^{\prime }}]$$

推法一（容斥原理）：

考虑经典转换：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i/d,j/d)=1]\text{\hspace{1em}(1)}$$
上式我们还可以套用一个经典变换。
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i/d,j/d)=1]=\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)=1]\text{\hspace{1em}(2)}$$

即：考虑$1$到$n/d$，$1$到$m/d$中，有多少个数对满足互质的个数。
很明显，互质的个数 = 总数 - 不互质的个数.

不互质的个数是几个呢？
我们考虑枚举倍数，2的倍数的个数，3的倍数的个数，4的倍数的个数…考虑符号的时候，发现和莫比乌斯函数的符号是一致的，这个以前的博客证明过，在这不啰嗦。与$(n/d)\ast (m/d)$ 合并后得答案：
$$\sum _{i=1}^{min(n,m)}[\frac{n}{d\ast i}]\ast [\frac{m}{d\ast i}]\ast \mu (i)\text{\hspace{1em}(3)}$$

推法二（根据莫比乌斯函数性质）：

由莫比乌斯函数性质可得：
$$\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)=1]=\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}\sum _{d^{\prime }|gcd(i,j)}\mu (d^{\prime })\text{\hspace{1em}(4)}$$
$d^{\prime }$是$gcd(i,j)$的因子，我们观察到前面两个求和只是在修饰$\mu$，给$\mu$提供一个范围，我们还发现：$d^{\prime }$实际上可以取到$1\sim min(\frac{n}{d}$

[BZOJ 2301]Problem B 莫比乌斯反演

BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b（莫比乌斯反演）

BZOJ2301Problem b（莫比乌斯反演）

2301: [HAOI2011]Problem b ( 分块+莫比乌斯反演+容斥）

bzoj 2301 Problem b - 莫比乌斯反演

BZOJ2301HAOI2011Problem b [莫比乌斯反演]