1000!有几位数，为什么？

Posted 2021-09-19 zjruiiiiii

1000!位数为2568位。我们学过数学都知道，1000!即1000的阶层，等同于1000 * 999 * 998 …* 2 * 1，因此我们不可能是自己算出最后的结果来判断1000!有几位数。那么有什么巧妙的方法能判断呢？

答案是肯定的。判断一个数是几位数有一个巧妙的方法：例如：1234是一个四位数，根据科学计数法1234可以写成1.234*10³，两边同时取10的对数，则为$log10^{1234}$=$log10^{1.234}$ * $log10^3$ 。因为$log10^3$ 结果为3，对3+1即等于4，4为1234的位数。因此，我们发现1234的位数就等于1234对10取对数后的整数部分再加1。设1.234为a，a的范围为(0<a<10),因此$log10^a$ 的取值范围为0到1之间。

照猫画虎，我们知道1234的位数如何求，则求1000!的位数方法也是相同的。即求出$log10^{1000!}$=$log10^{1000\ast 999....\ast 2\ast 1}$=$log10^{1000}$+$log10^{999}$+…+$log10^2$+$log10^1$ 。我们最后只是要其中的整数部分，在其最后加1即可。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	double sum = 0.0;
	int i = 0;
	for (i = 1; i <= 1000; i++)
	{
		sum = sum + log10(i);
	}
	int ret = (int)sum + 1;
	printf("%d\\n", ret);
	return 0;
}

注意：准确来说我们应该只取整数最后加1。这里要将1000!的阶层看作一个数。此时每一项我们应该用double（或float型）来存储$log10^{1000!}$，保证1000个小数相加数值准确，如果直接取int类型$log10^{1000}$（等于3）到$log10^1$（等于0）之间有许多近似值误差过大，虽然用两种类型都会造成误差，但用double型来存储则结果误差较小（只加上了$log10^a$的值，而int型则近似值过多）。在最后强制类型转换为int型，即变为整数。整数+1能够得到1000!的位数。当然，我们求$log10^{1000!}$需要借助电脑来计算。