组合数学(持续更新)

Posted 2021-09-19 bonely

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了组合数学(持续更新)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

排列与组合
鸽巢原理

排列与组合

四个基本计数原理

$(1)$ 加法原理: 设集合 $S$ 被划分成两两不相交的部分 $S_1$ , $S_2$ … $S_m$ , 则 $S$ 的对象数目可以通过确定它的每一个部分的对象数目并如此相加而得到 :
${\\vert S \\vert} = {\\vert S_1 \\vert} + {\\vert S_2 \\vert} +...+ {\\vert S_m \\vert}$
例如: 从河北到四川可以坐火车或者坐飞机, 坐飞机有 $3$ 种方法, 坐火车有 $4$ 种

方法, 则从河北到四川的方法有 $3 + 4 = 7$ 种方法

$(2)$ 乘法原理 : 加法原理的推论

例如: 从河北到四川第一程需要坐飞机,第二程需要坐火车, 坐飞机有 $3$ 种方法, 坐火车有 $4$ 种

方法, 则从河北到四川的方法有 $3 * 4 = 12$ 种方法

$(3)$ 减法原理: 令 $A$ 是一个集合, 而 $U$ 是包含 $A$ 的更大集合, 设

$\\overset{-}{A}$ 是 $A$ 在 $U$ 中的补,那么 $A$ 中的对象数目 ${\\vert A \\vert}$ 由以下法则给出 ${\\vert A \\vert} = {\\vert U \\vert} - {\\vert \\overset{-}{A} \\vert}$

例如: 计算 $1 . . 600$ 中不能被 $6$ 整除的数字个数

${\\vert U \\vert} = 600$

${\\vert\\overset{-}{A} \\vert} = \\frac{600}{6}=100$

${\\vert A \\vert} = {\\vert U \\vert} - {\\vert \\overset{-}{A} \\vert} = 600 -100 =500$

$(4)$ 除法原理:令 $S$ 是一个有限集合, 把它划分成 $k$ 个部分使得每一部分包含的对象数目相等, 于是, 此划分中的部分数目由下述公式给出:

$\\frac{{\\vert S \\vert}}{在一个部分中的对象数目}$

例如: 在一排鸽巢中有 $740$ 只鸽子,如果每个鸽巢含有 $5$ 只鸽子, 那么鸽巢的数目为 $\\frac{{740}}{5}=148$

两道例题:

$(1)$ : 在 $0$ 和 $10000$ 中有多少个整数恰好有一位数字是 $5$

解法: 通过添加前导 $0$ (如 $6$ 看作 $0006$ , $25$ 看作 $0025$ , $325$ 看作 $0325$ ), 可以把 $S$ 中的每一个数都当作 $4$ 位数, 现在我们根据数字 $5$ 是位于第 $1, 2, 3, 4$ 位从而把集合分成 $4$ 个集合, 这 $4$ 个集合中的每一个都含有 $9\\times9\\times9 = 729$ 个整数,从而 $S$ 所含有的整数个数等于 $4\\times729 = 2916$