Codeforces Round #720 (Div. 2) 1521 C. Nastia and a Hidden Permutation(交互,技巧)

Posted 2021-09-18 issue是fw

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一个$1-n$的排列$p$,你可以询问至多$\lfloor \frac{3n}{2}\rfloor +30$次来得到这个排列

每次询问先选定一个数$x$,然后询问分为两种

Ⅰ.得到 max ⁡ { min ⁡ ( x , p i ) , min ⁡ ( x + 1 , p j ) } \\max\\{\\min(x,p_i),\\min(x+1,p_{j})\\} max{min(x,pi​),min(x+1,pj​)}的值

Ⅱ.得到 min ⁡ { max ⁡ ( x , p i ) , max ⁡ ( x + 1 , p j ) } \\min\\{\\max(x,p_i),\\max(x+1,p_{j})\\} min{max(x,pi​),max(x+1,pj​)}的值

---

考虑取$x=1$代入,那么询问二大概会返回 min ⁡ { p i , max ⁡ ( 2 , p j ) } \\min\\{ p_i,\\max(2,p_j)\\} min{pi​,max(2,pj​)}

那么我们这样询问$\lceil \frac{n}{2}\rceil$次,第$k$次询问$p_{2k-1}$和$p_{2k}$(如果$n$为奇数最后一次询问$p_n$和$p_1$)

若在这$\lceil \frac{n}{2}\rceil$次询问中某次返回的值为$1$,可以断定此时$p_i=1$

如果任意一次询问的结果都不为$1$,可以断定$1$作为$p_j$被访问到,在被访问到的那次询问中会返回 min ⁡ { p i , 2 } = 2 \\min\\{ p_i,2\\}=2 min{pi​,2}=2

但是可能出现多次($2$次,值为$2$的那个节点也可能返回$2$)询问的返回值为$2$,我们可以把这些询问问到的节点存起来,这些节点是可能为$1$的节点

遍历每个可能节点$z$,去询问 min ⁡ { p z , max ⁡ ( 2 , p j ) } \\min\\{ p_z,\\max(2,p_j)\\} min{pz​,max(2,pj​)}满足$(j!=z)$

若$p_z=1$可以确定返回值一定为$1$,所以这样我们一定可以确定$1$的位置

这样,我们使用不多于$\lceil \frac{n}{2}\rceil +4$次询问确定了值为$1$的节点是$k$

这样我们遍历$[1,n]$,依次询问 max ⁡ { min ⁡ ( x , p i ) , min ⁡ ( x + 1 , p j ) } \\max\\{\\min(x,p_i),\\min(x+1,p_{j})\\} max{min(x,pi​),min(x+1,pj​)},我们取$x=n-1,i=k$

那么返回值为 max ⁡ { 1 , min ⁡ ( n , p j ) } = p j \\max\\{1,\\min(n,p_{j})\\}=p_j max{1,min(n,pj​)}=pj​,直接就得到$p_j$的值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int n,a[maxn];
vector<int>possible;
int ask1(int id1,int id2,int x)
{
	cout << "? " << 1 << " " << id1 << " " << id2 << " " << x << endl;
	int val; cin >> val;
	return val;
}
int ask2(int id1,int id2,int x)
{
	cout << "? " << 2 << " " << id1 << " " << id2 << " " << x << endl;
	int val; cin >> val;
	return val;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio( false );
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		possible.clear();
		cin >> n;
		int one = 0;
		for(int i=1;i<=n;i+=2)
		{
			int id1 = i, id2 = i+1;
			if( id2>n )	id2 = 1;
			int x = ask2(id1,id2,1);
			if( x==1 )	one = id1;
			if( x==2 )	possible.push_back( id1 ), possible.push_back( id2 );
		}
		if( one==0 )//没有找到
		{
			for(auto v:possible )
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				if( i==v )	continue;
				int x = ask2(v,i,1);
				if( x==1 )	one = v;
				break;
			}
		}
		a[one] = 1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if( one==i )	continue;
			a[i] = ask1(one,i,n-1);	
		} 
		cout << "!";
		for(int i=1;i<=n;i++)	cout << " " << a[i];
		cout << endl;
	}
}