最大子矩阵扫描法和悬线法

Posted 2021-09-17 行码棋

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最大子矩阵问题

在一个给定的$n\ast m$矩形网格中有$n$个障碍点，要找出网格内部不包含任何障碍点，且边界与坐标轴平行的最大子矩形。

扫描法

例题：奶牛浴场

题意：
$n\ast m$的牧场里有一些产奶点，先要建造一个矩形的浴场，里面不能包含产奶点，产奶点可以在浴场边缘，求建造的最大面积

性质：

1.极大有效子矩形的四条边无法向四边拓展， 也就是说四条边都存在障碍点或与大矩形边界重合
2.存在一个障碍点的矩形中最大有效子矩形一定是极大有效子矩形

算法复杂度：$O(n^2)$

我们先考虑从上到下扫描点：
我们要维护一个左右边界l,r，保证左右边界之间没有障碍点存在
如果访问到的点j的纵坐标大于当前点i的纵坐标，更新右边界，取最小值
如果访问到的点j的纵坐标小于当前点i的纵坐标，更新左边界，取最大值

更新结果：
$res=max(res,(r-l)\ast (p[j].fi-p[i].fi))$为左右边界之间的差乘上访问点j和当前点i的x坐标之差，即为更新了 以访问点j和当前点i为上下的边界，以维护的左右l,r为左右边界所组成矩形的面积

然后从左到右扫描所有的点和上面时类似的道理

参考博客

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 5005;

pii p[N];
int res;
int n,m,k;

int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		cin>>p[i].fi>>p[i].se;
	//加入矩形的四个点
	p[++k] = {0,0};
	p[++k] = {0,m};
	p[++k] = {n,0};
	p[++k] = {n,m};
	
	sort(p+1,p+1+k,[](pii a,pii b){
		return a.fi<b.fi;
	});//按x坐标排序
	int l,r,v;//左右边缘
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		l = 0,r = m,v = n-p[i].fi;
		for(int j=i+1;j<=k;j++)
		{
			if(v * (r-l) < res) break;//剪枝
			res = max(res,(r-l)*(p[j].fi-p[i].fi));
			if(p[j].se >= p[i].se) r = min(r,p[j].se);
			else l = max(l,p[j].se);
		}
	}
	
	sort(p+1,p+1+k,[](pii a,pii b){
		return a.se < b.se;
	});//按y坐标排序
	
	int u,d;//上下边缘
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		u = 0,d = n,v = m-p[i].se;
		for(int j=i+1;j<=k;j++)
		{
			if(v * (d-u) < res) break;
			res = max(res,(d-u)*(p[j].se-p[i].se));
			if(p[j].fi >= p[i].fi) d = min(d,p[j].fi);
			else u = max(u,p[j].fi);
		}
	}
	cout<<res<<'\\n';
	return 0;
 }

悬线法

例题：最大0矩阵

悬线：该点到上端的最长连续0长度

设$H[i,j]$为点$(i,j)$对应的悬线的长度。

$L[i,j]$为点$(i,j)$对应的悬线向左最多能够移动到的位置。

$R[i,j]$为点$(i,j)$对应的悬线向右最多能够移动到的位置。
　
我们要维护每一格对应向上的最大连续0的长度，就是所谓的悬线，还要维护该条悬线向左向右扩展的最远位置的下标，即为上面标明的三个值。

结果计算就是每一格的对应面积$(r[i][j]-l[i][j]+1)\ast h[i][j]$，所有取一个最大值。

1.维护$h[i][j]$:

1. 当前位为0时：$h[i][j]=h[i-1][j]+1$,上面的一位的长度加一
2. 当前位为1时：$h[i][j]=0$,因为初始化就为0，就没有操作

2.维护$l[i][j]$：

需要额外声明一个$ll$变量表示该行左侧 0最远到达的下标$ll$，因为访问该行时，遇见1然后$ll$就会更新为1的右面$j+1$的位置，碰见0就和上一行悬线左侧最远到达的位置进行最大更新

1. 当前位为0时:$l[i][j]=max(l[i-1][j],ll)$，使悬线位置最远，即x坐标最大
2. 当前位为1时:$l[i][j]=1$,更新$ll$为$j+1$

3.维护$r[i][j]$

需要从右边维护，道理和上面的相似

1. 当前位为0时:$r[i][j]=min(r[i-1][j],rr)$
2. 当前位为1时:$r[i][j]=n$。n为初始值，保证递推的时候在最右端，如果访问到下面为0的位置的话，$r[i-1][j]$代表的就是为1的位，保证$r[i][j]=min(r[i-1][j],rr)$中的$r[i-1][j]$总是最大的，然后就可以取rr这个值（本行的到达最右端的位置）

维护完就可以计算结果了

另外本题需要使用滚动数组才能过掉，先理解二维，然后压缩成一维就可以了

MLE代码：（重在理解递推）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2005;

int a[N][N];
int res,n;
int h[N][N],l[N][N],r[N][N];

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cin>>a[i][j];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int ll=1,rr=n;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(a[i][j]) ll = j+1,l[i][j] = 1;
			else h[i][j] = h[i-1][j]+1,l[i][j]=max(l[i-1][j],ll);
		}
		for(int j=n;j>=1;j--)
		{
			if(a[i][j]) rr = j-1,r[i][j] = n;
			else r[i][j] = min(rr,r[i-1][j]);
			res = max(res,(r[i][j]-l[i][j]+1)*h[i][j]);
		}
	}
	cout<<res<<'\\n';
	return 0;
 }

AC代码（上述代码优化为滚动数组）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2005;

int a[N][N];
int res,n;
int h[N],l[N],r[N];

动态规划之悬线法模板（最大子矩阵问题）

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