121. 买卖股票的最佳时机

Posted 2021-09-17 炫云云

121. 买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5

解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）
的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。

动态规划

思路：题目只问最大利润，没有问这几天具体哪一天买、哪一天卖，因此可以考虑使用 动态规划 的方法来解决。

买卖股票有约束，根据题目意思，有以下两个约束条件：

• 条件 1：你不能在买入股票前卖出股票；
• 条件 2：最多只允许完成一笔交易。

因此 当天是否持股 是一个很重要的因素，而当前是否持股和昨天是否持股有关系，为此我们需要把 是否持股 设计到状态数组中。

状态定义：

dp[i][j]：下标为 i 这一天结束的时候，手上持股状态为 j 时，我们持有的现金数。

• j = 0，表示当前不持股；

• j = 1，表示当前持股。

注意：这个状态具有前缀性质，下标为 i 的这一天的计算结果包含了区间 [0, i] 所有的信息，因此最后输出 dp[-1][0]。

说明：

• 使用「现金数」这个说法主要是为了体现 买入股票手上的现金数减少，卖出股票手上的现金数增加 这个事实；
• 「现金数」等价于题目中说的「利润」，即先买入这只股票，后买入这只股票的差价；
• 因此在刚开始的时候，我们的手上肯定是有一定现金数能够买入这只股票，即刚开始的时候现金数肯定不为 0，但是写代码的时候可以设置为 0。极端情况下（股价数组为 [5, 4, 3, 2, 1]），此时不发生交易是最好的

推导状态转移方程：

dp[i][0]：规定了今天不持股，有以下两种情况：

• 昨天不持股，今天什么都不做 ：dp[i-1][0]；
• 昨天持股，今天卖出股票（现金数增加）：dp[i-1][1] +prices[i] ，
• • 所以dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] +prices[i])

dp[i][1]：规定了今天持股，有以下两种情况：

• 昨天持股，今天什么都不做（现金数与昨天一样）：dp[i-1][1]；
• 昨天不持股，今天买入股票：-prices[i]（注意：只允许交易一次，因此手上的现金数就是当天的股价的相反数）。
• • 所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][1],-prices[i])

知识点：

• 多阶段决策问题：动态规划常常用于求解多阶段决策问题；
• 无后效性：每一天是否持股设计成状态变量的一维。状态设置具体，推导状态转移方程方便。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        Len = len(prices)
        # 特殊判断
        if Len<2:
            return 0 
        dp = [[0]* 2 for _ in range(Len)]
        #dp[i][0] 下标为 i 这天结束的时候，不持股，手上拥有的现金数
        #dp[i][1] 下标为 i 这天结束的时候，持股，手上拥有的现金数

        #初始化：不持股显然为 0，持股就需要减去第 1 天（下标为 0）的股价
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]

        #从第 2 天开始遍历
        for i in range(1,Len):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] +prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],-prices[i])
        return dp[-1][0]

空间优化

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] +prices[i])

dp[i][1] = max(dp[i-1][1],-prices[i])

状态转移方程里下标为 i 的行只参考下标为 i - 1 的行（即只参考上一行），并且：

• 下标为 i 的行并且状态为 0 的行参考了上一行状态为 0 和 1 的行；

• 下标为 i 的行并且状态为 1 的行只参考了上一行状态为 1 的行。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        Len = len(prices)
        # 特殊判断
        if Len<2:
            return 0 
        dp = [0]* 2 

        #初始化：不持股显然为 0，持股就需要减去第 1 天（下标为 0）的股价
        dp[0]= 0
        dp[1] = -prices[0]

        #从第 2 天开始遍历
        for i in range(1,Len):
            dp[0] = max(dp[0], dp[1] +prices[i])
            dp[1] = max(dp[1],-prices[i])
        return dp[0]

滚动数组

$dp[i]$ 表示前 $i$ 天的最大利润，因为我们始终要使利润最大化，则：

$$dp[i]=max(dp[i-1],prices[i]-minprice)$$
如果我们真的在买卖股票，我们肯定会想：如果我是在历史最低点买的股票就好了！太好了，在题目中，我们只要用一个变量记录一个历史最低价格 minprice，我们就可以假设自己的股票是在那天买的。那么我们在第 i 天卖出股票能得到的利润就是 prices[i] - minprice, 第 i 天无股票的利润就是dp[i-1]

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        if n <2: 
            return 0 # 边界条件
        dp = [0] * n
        minprice = prices[0] 
        for i in range(1, n):
            minprice = min(minprice, prices[i])
            dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - minprice)
        return dp[-1]

一次遍历

遍历一遍数组，计算每次 到当天为止 的最小股票价格和最大利润。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        minprice = float('inf')
        maxprofit = 0
        for price in prices:
            if price<minprice:
                minprice = min(minprice, price)
            else:
                maxprofit = max(maxprofit, price - minprice)
        return maxprofit

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)