714. 买卖股票的最佳时机含手续费

Posted 2021-09-17 炫云云

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意：**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8

解释：能够达到的最大利润: 
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

动态规划

定义状态 $dp[i][0]$ 表示第 $i$ 天交易完后手里没有股票的最大利润, $dp[i][1]$ 表示第 $i$ 天交易完后手里持 有一支股票的最大利润 $(i$​ 从 0 开始)。

考虑 $dp[i][0]$​ 的转移方程，如果这一天交易完后手里没有股票，那么可能的转移状态为前一天已经没有股票，即 $dp[i-1][0]$​, 或者前一天结束的时候手里持有一支股票， 即 $dp[i-1][1]$​, 这时候我们要 将其卖出，并获得 prices $[i]$​ 的收益，但需要支付 $fee$​​ 的手续费。因此为了收益最大化，我们列出如 下的转移方程:
d p [ i ] [ 0 ] = max ⁡ { d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] +  prices  [ i ] −  fee  } d p[i][0]=\\max \\{d p[i-1][0], d p[i-1][1]+\\text { prices }[i]-\\text { fee }\\} dp[i][0]=max{dp[i−1][0],dp[i−1][1]+ prices [i]− fee }
再来按照同样的方式考虑 $dp[i][1]$ 按状态转移，那么可能的转移状态为前一天已经持有一支股票，即 $dp[i-1][1]$, 或者前一天结束时还没有股票，即 $dp[i-1][0]$, 这时候我们要将其买入，并减少 prices $[i]$ 的收益。可以列出如下的转移方程:
d p [ i ] [ 1 ] = max ⁡ { d p [ i − 1 ] [ 1 ] , d p [ i − 1 ] [ 0 ] − prices ⁡ [ i ] } d p[i][1]=\\max \\{d p[i-1][1], d p[i-1][0]-\\operatorname{prices}[i]\\} dp[i][1]=max{dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i]}
对于初始状态，根据状态定义我们可以知道第 0 天交易结束的时候有 $dp[0][0]=0$ 以及 $dp[0][1]=$ $-prices[0]$ 。

因此，我们只要从前往后依次计算状态即可。由于全部交易结束后，持有股票的收益一定低于不持 有股票的收益, 因此这时候 $dp[n-1][0]$ 的收益必然是大于 $dp[n-1][1]$ 的，最后的答案即为 $dp[n-1][0{]}_{\text{。 }}$

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        Len = len(prices)
        # 特殊判断
        if Len<2:
            return 0
        dp = [[0]* 2 for _ in range(Len)]
        #dp[i][0] 下标为 i 这天结束的时候，不持股，手上拥有的现金数
        #dp[i][1] 下标为 i 这天结束的时候，持股，手上拥有的现金数
        # 状态转移：0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 1 → 0

        #初始化：不持股显然为 0，持股就需要减去第 1 天（下标为 0）的股价
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]

        #从第 2 天开始遍历
        for i in range(1,Len):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] +prices[i]-fee)
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] -prices[i])
        return dp[-1][0]

优化空间

由于当前行只参考上一行，每一行就 2 个值，因此可以考虑使用「滚动变量」（「滚动数组」技巧）。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        Len = len(prices)
        # 特殊判断
        if Len<2:
            return 0 

        # cash：持有现金
        # hold：持有股票
        # 状态转移：cash → hold → cash → hold → cash → hold → cash

        cash = 0
        hold = -prices[0]

        #从第 2 天开始遍历
        for i in range(1,Len):
            cash ,hold  = max(cash ,hold  +prices[i]-fee),max(hold ,cash-prices[i])
        return cash

方法一中，我们将手续费放在卖出时进行计算。如果我们换一个角度考虑，将手续费放在买入时进行计算，那么就可以得到一种基于贪心的方法。

这道题 「贪心」 的地方在于，对于 $\text{buy}$ = $\text{prices}[0]+\text{fee}$ 与 $prices[i]$ 比较，得到的结果有 3 种可能：

• $prices[i]+fee<buy$
• $prices[i]>buy$​
• $prices[i]$ 落在区间 $[\text{buy}-\text{fee},\text{buy}]$ 内

$\text{buy}$ 表示股票最低买入价格 。在初始时，$\text{buy}$​​​ = $\text{prices}[0]+\text{fee}$​​​ 。那么当我们遍历到第 $i(i>0)$​​​ 天时：

• $prices[i]+fee<buy$ ：那么与其使用 $\text{buy}$ 的价格购买股票，我们不如以$prices[i]+fee$ 的价格购买股票，因此将 $\text{buy}=prices[i]+fee$

• $prices[i]>buy$ ：直接卖出股票并且获得$prices[i]-buy$ 的收益。

  但实际上，卖出股票可能并不是全局最优的（例如下一天股票价格继续上升），因此我们可以提供一个反悔操作，看成当前手上拥有一支买入价格为 $prices[i]$ 的股票 ,$\text{buy}=prices[i]$ 。这样一来，如果下一天股票价格继续上升，我们会获得 $prices[i+1]-prices[i]$​ 的收益，恰好就等于在这一天不进行任何操作，而在下一天卖出股票的收益；

• 对于其余的情况， $prices[i]$ 落在区间 $[\text{buy}-\text{fee},\text{buy}]$ 内，它的价格没有低到我们放弃手上的股票去选择它，也没有高到我们可以通过卖出获得收益，因此我们不进行任何操作。

上面的贪心思想可以浓缩成一句话，即当我们卖出一支股票时，我们就立即获得了以相同价格并且免除手续费买入一支股票的权利。 在遍历完整个数组 $\text{prices}$ 之后 ，我们就得到了最大的总收益。

class Solution:
    def 以上是关于714. 买卖股票的最佳时机含手续费的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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 LeetCode——714. 买卖股票的最佳时机含手续费.
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