309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

Posted 2021-09-17 炫云云

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

动态规划

我们用 $f[i]$ 表示第 $i$ 天结束之后的「累计最大收益」。根据题目描述，由于我们最多只能同时买入 (持有) 一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：

• 我们目前持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 $f[i][0]$;
• 我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 $f[i][1]$;
• 我们目前不持有任何股票, 并且不处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 $f[i][2]$ 。

这里的「处于冷冻期」指的是在第 $i$ 天结束之后的状态。也就是说：如果第 $i$ 天结束之后处于 冷胨期, 那么第 $i+1$ 天无法头入股票。

如何进行状态转移呢? 在第 $i$ 天时，我们可以在不违反规则的前提下进行「买入」或者「卖出」操 作，此时第 $i$ 天的状态会从第 $i-1$ 天的状态转移而来; 我们也可以不进行任何操作，此时第 $i$ 天的 状态就等同于第 $i-1$​ 天的状态。那么我们分别对这三种状态进行分析：

• 对于 $f[i][0]$, 我们目前持有的这一支股票可以是在第 $i-1$ 天就已经持有的，对应的状态为 $f[i-1][0];$ 或者是第 $i$ 天买入的，那么第 $i-1$ 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应的状态为 $f[i-1][2]$ 加上买入股票的负收益 $prices[i{]}_{\text{。 }}$ 因此状态转移方程为：

$$f[i][0]=\max (f[i-1][0],f[i-1][2]-\text{ prices }[i])$$

• 对于 $f[i][1]$, 我们在第 $i$ 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票, 那么说明在第 $i-1$ 天时我们必须持有一支股票，对应的状态为 $f[i-1][0]$ 加上卖出股票的正收益 prices $[i]$ 。 因此状态转移方程为：

$$f[i][1]=f[i-1][0]+\text{ prices }[i]$$

• 对于 $f[i][2]$​, 我们在第 $i$​ 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有进行任何操作, 即第 $i-1$​ 天时不持有任何股票：如果处于冷冻期，对应的状态为 $f[i-1][1];$​ 如果不处于冷冻期，对应的状态为 $f[i-1][2]$​​ 。因此状态转移方程为:

$$f[i][2]=\max (f[i-1][1],f[i-1][2])$$

这样我们就得到了所有的状态转移方程。如果一共有 $n$ 天，那么最终的答案即为：
$$\max (f[n-1][0],f[n-1][1],f[n-1][2])$$
注意到如果在最后一天（第 $n-1$ 天）结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义 的。因此更加精确地，最终的答案实际上是 $f[n-1][1]$ 和 $f[n-1][2]$ 中的较大值，即:
$$\max (f[n-1][1],f[n-1][2])$$

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n = len(prices)
        # f[i][0]: 手上持有股票的最大收益
        # f[i][1]: 手上不持有股票，并且处于冷冻期中的累计最大收益
        # f[i][2]: 手上不持有股票，并且不在冷冻期中的累计最大收益
        f = [[0]*3 for _ in range(n)]
        f[0][0] = -prices[0]


        for i in range(1,n):
            f[i][0] = max(f[i-1][0],f[i-1][2] - prices[i])
            f[i][1] = f[i-1][0] +prices
            f[i][2] = max(f[i-1][1],f[i-1][2])
        
        return max(f[n - 1][1], f[n - 1][2])

空间优化

注意到上面的状态转移方程中, $f[i][.]$ 只与 $f[i-1][..]$ 有关，而与 $f[i-2][.]$ 及之前的所有状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态。也就是说，我们只需要将 $f[i-1][0],f[i-1][1],f[i-$ $1][2]$ 存放在三个变量中，通过它们计算出 $f[i][0],f[i][1],f[i][2]$ 并存回对应的变量，以便于第 $i+1$​ 天的状态转移即可。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n = len(prices)
        # f0: 手上持有股票的最大收益
        # f1: 手上不持有股票，并且处于冷冻期中的累计最大收益
        # f2: 手上不持有股票，并且不在冷冻期中的累计最大收益
        f0 = -prices[0]
        f1 = f2 = 0


        for i in range(1,n):
            newf0 = max(f0,f2 - prices[i])
            newf1  = f0 +prices[i]
            newf2 = max(f1,f2)
            f0,f1,f2 = newf0, newf1, newf2
        
        return max(f1,f2)

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)