数据结构----二叉树(未写完)

Posted 2021-09-17 4nc414g0n

二叉树

• 1)树
• • • ①树的概念
    • ②树的专用名词
• 2）二叉树
• • • ①二叉树概念
    • ②特殊的二叉树
    • ③二叉树总结性质
• 3）二叉树顺序结构和实现
• • • ①堆实现
    • • 堆的概念
      • 堆向下调整算法
      • 堆向上调整算法
      • 堆的接口代码实现
    • ②堆应用
    • • 建堆排序
      • topK算法
• 4）二叉树链式结构的实现

1)树

①树的概念

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 左边第一个子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

1. 有一个特殊的结点，称为根结点
2. 根节点没有前驱结点
   除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3. 树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

②树的专用名词

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2）二叉树

①二叉树概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

②特殊的二叉树

满二叉树：如果二叉树每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

③二叉树总结性质

注意：

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .(等比数列求和)
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为x , 度为2的分支结点个数为y ,则有x ＝y ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1) . (ps： log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

3）二叉树顺序结构和实现

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储

①堆实现

堆的概念

堆分为：

1. 小根堆：父节点均小于子节点
2. 大根堆：父节点均大于子节点
   

---

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树。

堆向下调整算法

通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个大/小堆
向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整
注意：

1. 父节点*2+1是左孩子 父节点*2+2是右孩子
2. (孩子节点-1)/2是父节点 (无论是左孩子还是右孩子 )

例如：
在27的孩子中找出较小的和27比较，若比27小则交换

代码实现：

void Swap(int* px, int* py)
{
	int tmp = *px;
	*px = *py;
	*py = tmp;
}
void AdjustDown(int* array, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		if (child < n-1 && array[child] > array[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (array[parent] > array[child])
		{
			Swap(&array[parent], &array[child]);
			//以下两句要放在if内因为child作为循环判断结束标志
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}	
	}
}

堆向上调整算法

思路：
每个节点只有一条线路，由于每次向上调整只会改变此条唯一线路，其他的二叉树数结构不会受到影响
代码实现：

void AdjustUp(int* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while (parent >= 0)//parent不会小于0，(最后一次(-1/2)=0)
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			break;
	}
}

堆的接口代码实现

②堆应用

建堆排序

建堆的时间复杂度详见：数据结构----时间复杂度和空间复杂度

建堆的好处在于最值总在下标0位置
排升序：建小堆
如果我们排升序建大堆时间复杂度过高，不如遍历排序
排降序：建大堆
如果我们排降序建小堆时间复杂度过高，不如遍历排序
以建小堆为例分析：

1. 建小堆后选出最小的数就在第一个位
2. 接下来要选次小的数，我们必须对n-1个数进行重新建堆，重复操作，而建堆的时间复杂度为O(N)，所以还不如直接遍历

---

思路：

1. 建堆：从最后一个堆开始往上同时利用堆向下调整算法，这样我们每次调整的时候都满足左右子树均是(大/小)堆
2. 排序：每次将0下标与末下标交换，同时末下标减一(调整的二叉树不包括最后一个排好序的元素)再以0下标为父节点用堆向下调整算法，再与末下标对换，如此往复
注意：末下标到0就不用在进行此操作了(判断条件end>0)

---

代码实现如下：

void HeapSort(int* array, int n)
{
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(array, n, i);
	}//先建好堆
	int end = n - 1;
	while (end > 0)//end不用等于0，剩最后一个已排好序
	{
		Swap(&array[0], &array[end]);
		AdjustDown(array, end, 0);//从头开始，只是不包括数组的最后一个元素，如此排序
		end--;
	}
}

时间复杂度为O(N*logN)：
建堆为O(N)，向下调整算法最多进行数高度-1次，而高度为log(N+1),所以时间复杂度为O(logN)，合起来是O(N*logN)(计算机学科中logN表示以2为底，N的对数)

topK算法

思路： 建一个k个数的堆，从数组第k个数开始和堆顶比较，如果比堆顶大则pop堆顶，压入数组的这个数
需要注意：
找最大的前K个，建立K个数的小堆(顶上永远是k个数中最小的那个数，需要替换的那个)
找最小的前K个，建立K个数的大堆(顶上永远是k个数中最大的那个数，需要替换的那个)
代码如下：

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	Heap khp;
	HeapCreate(&khp, a, k);
	for (size_t i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > HeapTop(&khp))
		{
			HeapPop(&khp);
			HeapPush(&khp, a[i]);
		}
	}
	for (size_t i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", khp._a[i]);

	}
}

4）二叉树链式结构的实现