cf451E. Devu and Flowers(产生不同多重集数量)

Posted 2021-09-17 Jozky86

cf451E. Devu and Flowers

题意：

有n个箱子，第i个箱子里有ai朵花，同一个箱子里花的颜色一样，不同箱子里的花颜色不一样。现在在这些箱子里选出m朵花组成一束，求一共有多少种方案。要求任意两束花都不一样

题解：

设第i个箱子里花的颜色是Bi，则本题就等价于从多集合S={A1 * B1，A2 * B2 …An * Bn}中选出M个元素能够产生的不同多重集的数量。根据多重集组合数的结论有：
$C_{N+M-1}^{N-1}-{\sum }_{i=1}^N{C}_{N+M-A_i-1}^{N-1}+{\sum }_{1<=i<j<=N}{C}_{N+M-A_i-A_j-3}^{N-1}-....+(-1{)}^N{C}_{N+M-{\sum }_{i=1}^N{A}_i-(N+1)}^{N-1}$
具体证明略
对于这种容斥，我们一般用x在二进制表示下，第i位为1则说明选中第i位，x的二进制下共有p个1，就相当于选了p位，就可以用x来枚举上述式子
$(-1{)}^p{\sum }_{N+M-A_{i_1}-A_{i_2}....-A_{i_p}-(p+1)}^{N-1}$
这样就可以得到容斥原理计算多重集组合数的公式的每一项
在求组合数过程中我们可以用Lucas进行优化
详细看代码

代码：

// Problem: E. Devu and Flowers
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #258 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/451/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 4000 ms
// Data:2021-09-02 11:04:13
// By Jozky

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef LOCAL
    startTime= clock();
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef LOCAL
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
// const int maxn=;
const int mod= 1e9 + 7;
ll a[30];
ll inv[30];
ll poww(ll a, ll b)
{
    ll ans= 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans= ans * a % mod;
        a= a * a % mod;
        b>>= 1;
    }
    return ans % mod;
}
void init()
{
    for (int i= 1; i <= 20; i++)
        inv[i]= poww(i, mod - 2);
}
ll n, m;
ll C(ll n, ll m)
{
    if (m < 0 || n < 0 || n < m)
        return 0;
    n%= mod;
    if (n == 0 || m == 0)
        return 1;
    ll a= 1, b= 1;
    for (int i= 0; i < m; i++) {
        a= (a * (n - i)) % mod;
        b= (b * inv[i + 1]) % mod;
    }
    return a * b % mod;
}
ll Lucas(ll n, ll m)
{
    if (n < m)
        return 0;
    if (m == 0)
        return 1;
    return Lucas(n / mod, m / mod) * C(n % mod, m % mod) % mod;
}
int main()
{
    //rd_test();
    init();
    cin >> n >> m;
    for (int i= 1; i <= n; i++)
        read(a[i]);
    ll ans= 0;
    for (int x= 0; x < (1 << n); x++) {
        if (x == 0) {
            ans= (ans + Lucas(n + m - 1, n - 1)) % mod;
        }
        else {
            ll t= n + m;
            int p= 0;
            for (int i= 0; i < n; i++) {
                if ((x >> i) & 1) {
                    p++;
                    t-= a[i + 1];
                }
            }
            t-= (p + 1);
            // cout << "t=" << t << endl;
            if (p & 1) {
                ans= (ans - Lucas(t, n - 1)) % mod;
            }
            else {
                ans= (ans + Lucas(t, n - 1)) % mod;
            }
        }
        // cout << "ans=" << ans << endl;
    }
    cout << (ans + mod) % mod << endl;
    //Time_test();
}